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2019高考100题之078(数列8)

2019-05-15  鼎新教育

      分析:

       这道题只要大脑清醒,稍微花一些时间,做对也是不难的.

       但是考场上很难大脑清醒,更难有充裕的时间去做小题,所以该题在考场上正儿八经做对是很难的.

       该题本质上只考查了等差和等比的求和,以及2的x次幂与一次函数的关系.

        该数列按照如下排列

       第一组:20

       第二组:2021

       第三组:202122

       第四组:20212223

       …

       第n组:202122… ,2n-1

       第n组是一个首项为1,公比为2等比数列,和为2n-1.

       所以前n组的和为(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=2n+1-2-n.

       我们知道当n>2时,有2n>2+n.

       该不等式可以通过二项展开(1+1)n来证明,

       也可以通过构造函数f(x)=2x-2-x(x>2),然后求导求最值来证明.

       当然通过图象我们也可以直观感知到该结论:

       所以我们就知道n>2时,2n+1-2-n>2n+1-2n=2n.

       也就是n>2时,前n组的和2n+1-2-n一定不是2的整数次幂,要想得到2n+1,必须由前n组的和再增加第n+1组的前m项202122… ,2m-1的和.

       即

2m-1=n+2,

N=n(n+1)/2+m>100.

       然后代数检验即可,

       m=2,n=1,N=3,舍;

       m=3,n=5,N=18,舍;

       m=4,n=13,N=95,舍;

       m=5,n=29,N=440,符合题意.

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