能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,
324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
一、平方数有以下性质：
【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；
（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；
100，10000，1000000是完全平方数，
10，1000，100000等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为
(2k+1)^2=4k(k+1)+1
(2k)^2=4k^2
【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】
【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
【性质9】平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。
例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。
下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：
【性质10】完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明
因为一个整数被9除只能是
9k,9k±1,
9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而 (9k)^2=9(9k^2)+0 (9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1
(9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4 (9k±3)^2=9(9k^2±6k)+9
(9k±4)^2=9(9k^2±8k+1)+7
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
【性质11】a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
【性质12】如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。
证明
由题设可知，a有质因子p，但无因子p^2，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
【性质13】在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即
【性质14】一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。
【性质15】完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。
【性质16】若质数p整除完全平方数a，则p^2|a。
【性质17】任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
二、重要结论（不是完全平方数的特点）
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8n+2,
8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数
三、个位数与正整数幂
正整数幂的个位与其底数的个位有周期性关系。
【性质1】和的个位数字是诸加项个位数字之和的个位数字.
【性质2】积的个位数字是诸因数个位数字之积的个位数字.
四、例题剖析
【例1】有一个1000位的数,它由888个1和112个0组成,这个数是否可能是一个平方数?
解法一：这个1000位数的各位数字和为：888→24→6，
根据各位数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数判定，此数不是完全平方数。
解法二：设这个1000位数=A，是a的平方的完全平方数，
因为A能被3整除，所以也能被3整除，即A能被9整除，但9不能整除888，
所以A不是完全平方数。
【例2】如果m是整数，那么m的平方+1的个位数可能是（
）。
解：因为完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，
所以m的平方+1的个位数可能是1，2，5，6，7，0
【例3】有4个不同的数字可共组成18个不同的4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。那么这18个数的平均数是多少?
解：（1）由4个不同的数字可以构成：4*3*2*1=24个不同的4位数，只能构成18个4位数说明含有一个数字“0”，即：3*3*2*1=18。
（2）这些4位数中，最小的为a0bc,次大的为cb0a（其中0<a<b<c）。
（3）完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，
令c=9，则b必须为偶数（试取8），a取1（1+0+8+9=18→9，☆完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9），
得：1089=33的平方，9801=99的平方。
（4）平均数的千位数：（1+8+9）*6/18=6
百、十、个位数：(1+8+9+0)*4/18=4
所求：6444
【例4】1987的1987次幂乘以1988的1988次幂乘以1989的1989次幂的个位数是几？
解：先要确定高次幂的个位数周期
1987的1，2，3，...1987次幂的个位数分别是7，9，3，1，7，9...，周期为7，9，3，1这4个个位数循环，1987÷4...3,所以的个位数为3；
1988的1，2，3，...1988次幂的个位数分别是8，4，2，6，8，4...，周期为8，4，2，6这4个个位数循环，1988÷4...0,所以的个位数为6；
1989的1，2，3，...1989次幂的个位数分别是9，1，9，1，...，周期为9，1这2个个位数循环，1989÷2...1,所以的个位数为9；
所求：个位数是3×6×9的个位数即为2.
总结：（1）和的余数等于余数的和；
（2）差的余数等于余数的差；
（3）积的余数等于余数的积。
【例5】12345678987654321是否是完全平方数.
解：12345678987654321的个位数字和为：36+9+36=81→9
所求：是一个完全平方数
迎春杯07年六年级组第11题
有4不同的数字共可组成18个不同的4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。那么这18个数的平均数是：
。
分析与解答：
一，首先涉及到排列组合与乘法原理：
当没有0时，4个不同的数字共可组成4！=24个不同的4位数。
如果只能组成18个不同的4位数，说明其中必有0,即按3×3！=18算出来的。
二，在这四个不同的数中，设最小的数（小0中大）＝A2，倒数第二个则是（大中0小）=B2,
两数正好是一对反序数。
根据完全平方数的尾数特点，
“小”、“大”两数必是1,4,6,9之中的两个。且中数在小大之间。
三，分类讨论，使用枚举法一一验证，但是注意使用平方数的判断技巧。
1，先判断小数，再用大数验证。
2，利用平方数的整除特征：是2的倍数必是4的倍数，是3的倍数必是9的倍数，是5的倍数必是25的倍数。
3，利用高位估算法与尾数特点确定。例如平方数为1056，那么肯定是34或者36的平方，然后再验算即可。
四，可以分为以下3类：
（1）当“大”＝4，那么只有1024,1034符合，
1024＝32*32,但4201不成立。
1034是2的倍数不是4的倍数。
（2） 当“大”＝6,
那么1026，1036，1046，1056，4056符合。
1026，1046是2的倍数不是4的倍数，排除。
4056是3的倍数，不是9的倍数，排除。
32*32＜1036，1056＜33*33，排除1036与1056，其实也可以排除1026，1046。
（3）当“大”＝9,
在（10中9）的数中，取332=1089,
而9801可以用992来试算，知9801＝992.符合。
在（40中9）的数中，取632,672不成立。
在（50中9）的数中，取672，732不成立。
在（60中9）的数中，取732，772不成立。
所以，符合条件的数只能是由1089开始的四位数。
五，求这18个数的和，有两种方法，一种是枚举法，当然要结合找规律，但是也很难计算；
另一种是计数法，即根据每一位上的数字出现的次数来统一计算。
又分两种思路：
1，直接计算：千位上1，8，9出现的次数为3！=6次，百位十位个位上出现1，8，9的次数为2*2！=4次，所以18个数的总和为（1+8+9）*6444，所以平均数为6444。
2，利用排除法：假设0也可以作为高位，例如0189也算符合要求的，那么这24个数的总和应该是（0+1+8+9）*6666。那么多加的6个数用同样的方法可知总和为（1+8+9）*222，所以18个数的总和为18*6666-18*222，所以平均数为6444。
点评：
1，此题也是难度非常大的一道综合题型，涉及到排列组合计数原理的考察，有数字大小的排列，然后主要是平方数的判断，其实都是奥数课程里面的基本内容，但是组合起来之后就难度变很大了。
2，第一步思路是根据18个数判断出其中必有一个为0，这个一般同学都能判断出，但是这一步离最后答案还相差十万八千里，所以可以看出，计数原理都是作为附属考察内容渗透进每道试题，难度不大，但是不过关又无从下手。
3，第二步思路主要是根据分类原则逐一对平方数进行判断，需要使用平方数的特征，同时需要同学有很强很快的计算能力。很多同学不重视平方数的特征，尤其是判断过程，因为他们觉得这个东西无法考察（因为不是填空题型），通过这道题目的学习就应该知道每一个数学知识点都是有用的，而且是可以用题目考察到的，不要轻易放过任何一个有用的数学原理，比如五六年级的抽屉原理也是，很多同学觉得没用，不会考，从考试角度来说确实考察的频率相对底，但是体现的数学思想是在很多题目当中有体现的。
