多个量之间的重叠问题，听说难倒不少人，其实只需看懂这5张图！

多个量之间的重叠问题

前两节的内容我们讲的重叠问题时比较基础的一般只涉及两个集合之间的计数，这节的内容我们把难度上升，来讲解多个量之间的重叠问题。这里有一个重点就是韦恩图的画法和集合之间的关系，所以一定要好好理解，这节的内容也是比较重要的，是奥数中常考的题型。

经典例题

1、对全班同学作文、数学、科学这三门功课进行调查，其中有20人喜欢作文，32人喜欢数学，34人喜欢科学，12人既喜欢作文又喜欢数学，9人既喜欢作文又喜欢科学，20人既喜欢数学又喜欢科学，5人这三门可都喜欢，另外有3人这门功课都不喜欢。这个班一共有多少人？

这道题就是非常典型的多个量之间的重叠问题，题目中的数量关系非常多，我们来画图分析，如下图：

我们先来看12个人既喜欢作文又喜欢数学说的是D+G这个部分等于12，D本身表示只喜欢作文和数学，G表示三种都喜欢，那么这12个人说的是既喜欢作文又喜欢数学，所以包含D+G=12，我们有又知道G=5，所以可以得到如下图：

那么同样的道理有9个人既喜欢作文又喜欢科学，也就是说G+E=9，题目中已经告诉我们G=5了，所以E=4，如下图：

很显然既喜欢科学又喜欢数学的人有20个，那么G+F=20，G=5，所以F=20-5=15人，得到如下图：

那么接下来我们再分别求出A、B、C就可以了，A代表的是只喜欢作文，题目中告诉我们有20人喜欢作文，我们那么A=20-7-4-5=4人，同样的道理求出B=5人，C=10人，如下图：

那么全班的人数就是把图中的7个部分，再加上3个三项都不喜欢的人数：4+5+10+7+4+15+5+3=53人。解决这类题目一定要学会画韦恩图，就是我们上面这种画图的方式。

典型考题

2、学生食堂的管理人员做了一个调查：全班50人，爱吃鸡腿的有40人，爱吃鱼的有32人，爱吃蔬菜的有40人，既爱吃鸡腿又爱吃鱼的28人，既爱吃鱼又爱吃蔬菜的有22人，既爱吃鸡腿又爱吃蔬菜的有30人，那么鸡腿、鱼、蔬菜都爱吃的有多少人？

我们先来看鸡腿40人的部分包含①+④+⑤+⑥=40，鱼的部分包含②+④+⑤+⑥=32，蔬菜的部分包含③+⑤+⑥+⑦=40。我们把这三大部分加起来40+32+40=112，我们继续来看下图：

既爱吃鸡腿又爱吃鱼的28人就是④+⑤=28人，既爱吃鱼又爱吃蔬菜的有22人就是⑤+⑦=22人，既爱吃鸡腿又爱吃蔬菜的有30人也就是⑤+⑥=30人，上面我们得到112比总人数50人要多得多就是因为把这三个部分重复计算了2次，所以应该减去，即112-28-22-30=32人。如下图：

那么我们知道⑤被我们减去了3次，中间就空了，那么我们得到的32就是①+②+③+④+⑥+⑦=32，那么总人数一共是50人，所以我们就可以得出50-32=18人，也就是⑤=18，也就是最终答案！

思考题

某年级60人中有40人爱好大乒乓球，45人爱好踢足球，48人爱好打篮球，这三项运动都爱好的有22人。那么三项运动都不爱好的最多有多少人？