写在前面 图形的相似是初中几何的重要内容,其综合性强,证明难度高,常出现在中考压轴题中,因此,从本讲开始,计划以一个系列的内容,介绍其中的一些基本模型与解题方法. 一、模型建立 1 2 二、模型讲解 A型和X型,来源于一个基本事实: 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 这是平行线分线段成比例定理. 如图,已知AD∥BE∥CF, 值得注意的是, 平行线分线段成比例定理强调的是 对应线段成比例.与AD,BE,CF无关. 但A型,X型是三角形, 强调的是对应边成比例. 反A型和反X型,则不再有边平行的条件, 而是通过公共角与一对角等,或对顶角与一对角等,得出的相似. 三、实战分析 (1)看清对应边 分析: 这都是简单题,但却很容易错,切记A型是三角形,相似比是对应边之比. 解答: 例1: 2:3 变式1: 12,2:5 变式2: C (2)注意有多解 例2: 在△ABC中,AB=8,AC=6,D在AC上,且AD=2,若要在AB上找一点E,使△ADE与原三角形相似,则AE=______ 变式1: 如图,在钝角三角形ABC中,AB=6cm,AC=12cm,动点D从A点出发到B点止,动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒,点E运动的速度为2cm/秒.如果两点同时运动,那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是______. 分析: 两道题目中并未出现∽符号,则说明字母间并未确定对应关系,因此有多种可能,这里由于∠A是公共角,显然是A型或者反A型. 解答: 变式2: 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,求t的值. 分析: 本题也是一个动点问题,但要看清整个运动路径,是从点A出发,向B运动,是一个往返运动,另外,由∠A=60°,BC=2cm,AB=4cm,6s运动停止,则从A到B返回运动到AB中点结束. 解答: 由题意得,∠A=30°,AB=2BC=4cm, (3)会二次相似 例3: 如图,已知△ABC中,CE⊥AB于E,BF⊥AC于F,求证:△AEF∽△ACB. 分析: 本题若直接求证△AEF∽△ACB,十分困难,因为只有∠A作为公共角一个条件,那该如何分析呢?由于BF,CE是△ABC的两高,所以可先△ABF∽△ACE,得到边对应成比例,注意,∠A必然为夹角.同时,再证△AEF∽△ACB时,边之比要作转化. 解答: 变式: 如图,△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,连接DE并延长交BC的延长线于点F,连接DC、BE.若∠BDE+∠BCE=180°. (1)写出图中所有的相似三角形.(注意:不得添加字母和线); (2)求证:△DCF∽△BEF. 分析: 本题属于四边形对角互补模型,由邻补角互补,可转化为反A型证相似,再利用对应边成比例作转化,可证二次相似. 解答: 例4: 如图,已知∠C=90°,四边形CDEF是正方形,AC=15,BC=10,AF与ED交于点G.则EG的长为______ 分析: 本题中,正方形内嵌于直角三角形,必然有基本模型A型,再根据AF与ED相交,必然产生了X型,利用对应边成比例建立方程即可. 解答: 本讲思考题 |
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