第一章§1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论学习目标1.理解平面的基本性质与推论，能运用平面的基本性质及推论去
解决有关问题.2.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.3.理解异面直线的概念.内容索引问题导学题型探究达标检
测问题导学知识点一平面的基本性质与推论思考1直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？答案前
者不在，后者在.思考2观察图中的三脚架，你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面.思考3观察正方体ABCD—A1B
1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B，C吗？答案不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于
直线BC.梳理(1)平面的基本性质平面内容作用图形基本性质1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面
内(即直线在或_____经过直线)判断直线是否在平面内的依据两点平面内平面基本性质2经过不在同一条直线上的，有且只有一个平面(
即确定一个平面)确定平面及两个平面重合的依据基本性质3如果不重合的两个平面有公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线判断
两平面相交，线共点，点共线的依据三点不共线的三点一个(2)平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，平面.推论2：经
过两条直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条直线，有且只有一个平面.有且只有一个相交平行知识点二点、直线、平面之间的关系及
表示思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线、平面
的位置关系可用数字符号“∈”或“?”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“?”或“?”表示.梳理点、直线、平面之间的基本位
置关系及表示文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A?lA在α内A∈αA在α外A?αl在α内l?αl在α外l?αl，m相交
于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l知识点三共面与异面直线思考如图，直线AB与平面α相交于点B，点A
在α外，那么直线l与直线AB能不能在同一个平面内？为什么？直线l与直线AB的位置关系是怎样的？答案不可能在同一个平面内，因为如果
在同一个平面内，点A就在α内，这与点A在α外矛盾.由图知，直线l与直线AB没有公共点，所以它们不相交，直线l与直线AB不可能平行，
否则它们就会同在平面α内，所以直线l与直线AB既不相交也不平行.梳理共面与异面直线(1)共面①概念：空间中的几个点或几条直线，都
在内.②特征：共面的直线或者.(2)异面直线①概念：既不又不的直线.②判断方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内的
直线是异面直线.同一平面相交平行平行相交不经过交点[思考辨析判断正误]1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.()2.
两直线若不是异面直线，则必相交或平行.()×√题型探究类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图
形中点、直线、平面之间的位置关系.解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩
l＝P，b∩l＝P.解答反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置
关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1根
据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B?α；解点A在平面α内，点B不在平面α内，
如图①.解答(2)l?α，m∩α＝A，A?l；解直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.解答(3
)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.解平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于A
C，如图③.解答类型二平面的基本性质的应用命题角度1点、线共面问题例2如图，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥
a，求证：PQ?α.解因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a?β，点P∈β.因为P∈b，b?α，所以P∈α.又因为
a?α，所以α与β重合，所以PQ?α.解答引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平
面内.解答解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一
个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l?α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l?β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由推论2知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.
反思与感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线
在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l
3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.证明证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l
2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.∴直线l1，l2，l3在同一平
面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2
，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α
内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.命题角度2点共线与线共点问题例3如图所示，在正方体AB
CD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.证明证明如图，连接EF，D1C
，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴E，F，D1，C四点共面，∴D1F与CE相交，设交点为P.又D1F?平面A1D1D
A，CE?平面ABCD，∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据基本性质3，可得
P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一点.反思与感悟(1)点共线：证明多点共线通常利用基本性质3，即两相交平面交线的唯一性，通过
证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共
点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面
的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足A
B∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.证明证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面
α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本性质3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面
α的交线上.∴P，Q，R三点共线.方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴
平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR
，∴P，Q，R三点共线.类型三异面直线的判定例4如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么NC，DE，AF，BM这四
条线段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明.解答解将展开图还原为正方体(如图).NC与DE，NC与AF，NC
与BM，DE与AF，DE与BM，AF与BM，都是异面直线，共有6对.以NC与AF是异面直线为例证明如下：方法一连接BE，若NC∥
AF，则由NC∥BE，可知AF∥BE，这与AF与BE相交矛盾.故NC与AF不平行.若NC与AF相交，则平面ABFE与平面CDNM有
公共点，这与正方体的性质矛盾.故NC与AF不相交.所以NC与AF异面.方法二连接BE，如图，因为直线NC?平面BCNE，直线AF
∩平面BCNE＝O.O?直线NC，所以NC与AF异面.反思与感悟判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交.
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A?α，B∈α，l?α
，B?l?AB与l是异面直线(如图).跟踪训练4分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是A.异面 B.平行 C.相交 D.
以上都有可能√解析如图(1)所示，直线a与b互相平行；如图(2)所示，直线a与b相交；如图(3)所示，直线a与b异面.解析答案达
标检测1.若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则A.C∈α B.C?αC.AB?α D.AB∩α＝C√解析因为A∈平面α
，B∈平面α，所以AB?α.又因为C∈直线AB，所以C∈α.12345解析答案2.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB
共面也与CC1共面的棱的条数为A.3 B.4 C.5 D.6√解析如图，用列举法知符合要求的棱为：BC，CD，C
1D1，BB1，AA1，故选C.12345解析答案3.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1异面的是A.AB
B.BB1C.DD1 D.B1C1√解析由异面直线的定义知，与AA1异面的直线应为B1C1.12345解析答案4.线段AB在
平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是__________.直线AB?α解析由基本性质1知直线AB在平面α内.12345解析答
案5.如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位
置关系是___________.P∈直线DE解析因为P∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.12345解析答案规律与方法1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.3.异面直线是既不平行也不相交的直线.又∵A1B綊D1C，∴EF綊D1C，∴EF綊A1B. |
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