第一章1.2.2空间中的平行关系第1课时平行直线学习目标1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性
质4及等角公理.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学知识点一基本性质4空间平行1.文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相
.这一性质叫做_____.2.符号表达：?———.平行线的传递性a∥bb∥ca∥c知识点二等角定理思考观察图，在长方体
ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案
从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.梳理等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别
，并且，那么这两个角相等.对应平行方向相同知识点三空间四边形不共面顺次连接的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形.
这四个点中的各个点叫做空间四边形的；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的.空间四
边形用表示顶点的四个字母表示.顶点边对角线[思考辨析判断正误]1.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′
.()2.没有公共点的两条直线是异面直线.()3.若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a?α，b?β，则a，b是异面直线.
()×××题型探究类型一基本性质4的应用例1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA
，PB，PC，PD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.解在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，因为四边形ABCD
是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD.所以EF∥GH，EF＝GH.所以四边形EFGH是平行四边形.解答反思与感悟证明两条直线
平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点.(2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线
都与所找的第三条直线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行.若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行.跟踪训
练1如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点.求证：四边形B1EDF是平行四边形.证明证明
设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴四边形EQC1B1为平行四边形，又∵Q，F是DD1，C1C的中点，∴
四边形QDFC1为平行四边形.∴四边形B1EDF为平行四边形.类型二等角定理的应用例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；证明在正方形ADD1A1中，M，M1分别为
AD，A1D1的中点，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴四边形BB1M1M为平行四边形.证明(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明
由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何
知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC＝∠B1M1C1.证明反思与感悟有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(
1)利用等角定理及其推论.(2)利用三角形相似.(3)利用三角形全等.本例是通过第一种途径来实现的.跟踪训练2已知棱长为a的正方
体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；证明证明如图，连接AC，在
△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴四边形M
NA1C1是梯形.(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明由(1)可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1
相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.证明类型三空间四边形的认识(1)当λ
＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；证明又∵λ＝μ，∴EH＝GF，∴四边形EFGH是平行四边形.(2)当λ≠μ时，四边形EFGH是
梯形.证明由(1)知EH∥GF，又∵λ≠μ，∴EH≠GF.∴四边形EFGH是梯形.证明反思与感悟因空间图形往往包含平面图形，在
解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形ABCD”，不包含平面四边形
，说明“A，B，C，D四点必不共面”，不能因直观图中AD与BC看似平行的关系认为它们是平行的.跟踪训练3已知空间四边形ABCD中
，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，判定AE与DF的位置关系.解由已知，得E
，F不重合.设△BCD所在平面为α，则DF?α，A?α，E∈α，E?DF，所以AE与DF异面.解答达标检测1.直线a∥b，直线b与
c相交，则直线a，c一定不存在的位置关系是A.相交 B.平行 C.异面D.无法判断√解析如图，a与c相交或异面.1234
5解析答案2.下列四个结论中假命题的个数是①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足
a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.A.1 B.2 C.3
D.4√12345解析答案解析①④均为假命题.①可举反例，如a、b、c三线两两垂直.④如图甲时，c、d与异面直线l1、l
2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交.
123453.下列结论正确的是A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C.空间四边形的两
条对角线可以相交D.空间四边形的两条对角线不相交√解析空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面
，故选D.12345解析答案4.下面三个命题，其中正确的个数是①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形.A.1 B.2 C.3 D.0√解析空间中三条平行线
不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.1
2345解析答案5.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形A.全等 B.不相似C.仅有一个角相等 D
.相似√解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.12345解析答案规律与方法1.判定两直线的位置关系的依据就
在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模
型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具.3.注意：等角定理
的逆命题不成立.同理GH∥DC，GH＝DC.所以EF∥AB，EF＝AB，又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B
1C1(基本性质4).∴EQ綊A1D1.∴B1E綊C1Q.∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF.∴QD綊C1F.∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴A1M1綊AM，∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，∴MN∥AC，MN＝AC.例3如图，设E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ，求证：同理，GF∥BD，＝μ.∴EH綊GF.证明∵＝＝λ，∴EH∥BD，∴＝λ. |
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