史上最详细的等距螺旋公式的推导步骤

（这个推导过程是从没有过的，所以史上最详细的说法没有毛病。）

等距螺旋是以每一旋转周期，曲线外扩相同的距离为共同特征的螺旋状曲线，它包含了阿基米德螺旋、渐开线螺旋、风螺旋、C螺旋以及自由螺旋等众多的螺旋。

等距螺旋与传统螺旋的主要区别在于，它是以直线运动与圆周运动叠加的轨迹为理论依据，以数学公式的分析为补充，实现了从收缩到外扩的完整螺旋过程的分析。传统螺旋的分析内容通常仅为等距螺旋的局部区间，表现为单纯的收缩部分或单纯的外扩部分。

在讨论过螺旋运动的原理之后，等距螺旋的话题就可以开始进入纯数学公式的推导。

上一个话题里通过DA角的分析，引出直线运动与圆心点的距离D与圆周半径之比，等于sin(DA)。并且引入了一幅角度关系图，如图1所示：

 

图1 等距螺旋角度关系图

通常在极坐标系中通过（α，ρ）参数来描述数学曲线，在等距螺旋中角度关系更加复杂，需要引入更多的角度和参数来表示。

假定圆周的半径为r，圆周运动的速度用v来表示，计算公式为：

• v=2πr/T

T代表圆周旋转一周所需要的时间。

直线运动的速度用w来表示，计算公式为：

• w=S/T

S代表旋转一周时间后，动点在直线上运动过的距离，它的计算公式为：

• S=w*T= w*2πr/v

将每弧度对应的直线运动距离用E来表示，则得到公式：

• E = (2πrw/v)/(2π)=rw/v

若用Eθ来表示 从起点开始旋转θ角度后，直线上的移动距离，则可以知道：

• Eθ=E * θ =θ*r* w/v

【这里隐藏了一个转弯率公式：

• R =2π/T= 2π/(2πr/v)= v/r

即飞行程序设计中使用的：

• Eθ=θ*w/R

飞行程序设计中转弯率最大取值为3°/s（角度/秒）】

在图1中，利用余弦定理，可以得到ρ边的表达式

化简得

代入Eθ公式，得

（公式一）

在图1中，根据正弦定理，可以得到β角的计算式：

• ρ/sin(π-DA)= Eθ/sin(β)

• β = arcSin(Eθ*sinDA/ρ)

按照图1中的角度关系，可得：

• α=θ-β=θ-arcSin(Eθ*sinDA/ρ)     （公式二）

 至此，初步的（α，ρ）参数都有了，可以“自动化”的绘制等距螺旋了。

若螺旋线是“逆时针”外扩的，则角度关系如图2所示：

【逆时针加双引号，是想强调一下，在等距螺旋中，并不真的存在顺时针或是逆时针的差别，有可能是同一条螺旋，正如之前一直讨论的内容，只是这两部分需要用不同的数学公式来表示而已。】

 

图2 “逆时针”螺旋 角度关系

图2中的ρ边长度计算方法与图1是相同的，只是α的角度关系发生了变化，变成了：

• α=θ+β=θ+arcSin(Eθ*sinDA/ρ)      （公式三）

公式一、二、三共同构成了等距螺旋的通用公式，它在不同的DA角的情况下可以转化为阿基米德螺旋（DA=0）、渐开线螺旋（DA=π/2），后面我们再来逐个详聊，今天就先到这里吧。

今天的公式有点多，对于飞行程序设计人员来说，这些公式一定看着很眼熟吧？没错，等距螺旋公式正是从风螺旋公式扩展而来，所以采用了风螺旋公式的图符表示系统。未来等距螺旋若有幸成为几何课程的一部分，各位飞行程序设计界的朋友，你们必将是最容易掌握这一技术的先行者，万事皆有可能，您觉得呢？