有些方程若按常规解法则烦不胜烦,而采用裂项抵消法则可以化繁为简。请看: 例 解方程: 1/(x^2+3x+2)+3/(x^2+7x+10)+ 4/(x^2+6x+5)=-2. 解析:直接去分母显然不是解法的选项。注意各个分母可分别因式分解,因此,先将方程化为: 1/[(x+1)(x+2)]+3/[(x+2)(x+5)]+ 4/[(x+1)(x+5)]=-2, 联想到计算1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…时的裂项抵消法,设法将各个分式化为两个分式的和差。 因为1=(x+2)-(x+1),3=(x+5)-(x+2), 4=(x+5)-(x+1), 所以方程可化为 1/(x+1)-1/(x+2)+1/(x+2)-1/(x+5)+ 1/(x+1)-1/(x+5)=-2, 所以2/(x+1)-2/(x+5)=-2, 即1/(x+1)-1/(x+5)=-1, 去分母,得 x+5-(x+1)=-(x+1)(x+5), 整理,得x^2+6x+9=0, 解得x=-3. 经检验x=-3是原方程得根, 所以原方程得根是x=-3. 练习: (1)解方程: 1/[(x-1)(x-2)+2/(x^2-2x)+1/(x^2-x)=-3. (2)解方程: 1/[(x+7)(x+8)]+1/[(x+8)(x+9)] -2/[(x+9)(x+7)]+1/(2x+1)=1. (3)1/[(x+1)(x+2)]+1/[(x+2)(x+3)]+… +1/[(x+2018)(x+2019)]=2018/2019. |
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