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大家做数学题，目的并非做题本身，而在于数学题的知识点+处理数学问题的数学思想、数学方法、数学技巧这一系列数学本源性的东西。有些题“真正”地做一次胜过马马虎虎地做千百次，“真正”地做数学题是要由此及彼、举一反三，甚至把在低层次的学习中学到的东西应用于高层次的学习中。 一、小学网红数学题2⁹⁹⁹的最后两位数字是____。
题目可谓简洁至极，对于小学数学而言，这是寻找和发现规律的一类题的代表之一。对于数字的研究，不妨用依次从最简单到稍微复杂一一列举的方式，直观地观察和寻找规律。 1、不妨先只研究个位数字 2，4，8，16，32， 列举至此，2⁵个位数字=2¹个位数字，个位数字周期（循环）已出现： 周期T=4， 999÷4=249……3， 故2⁹⁹⁹的个位数字=2³的个位数字=8。
2、进而研究十位数字 为便于研究，不妨将2,4,8书写为二位数，上一个数乘以2依次往下写就是，列举起来其实非常简单，不耗什么时间，不费吹灰之力，计算远远没有一些同学想象的那么复杂： 02，04，08，16，32(2⁵)，64，128，256，512，1024(2¹⁰)，2048，4096，8192，16384，32768(2¹⁵)，65536，131072，262144，524288，1048576(2²⁰)，2097152，4194304， 列举至此，十位数的明确周期还没有确定出来，但是最后两位数字（十位和个位）的周期却终于出现，这对解决本题而言，更具有直接有用性，万事大吉啊： 周期T=20， 请特别注意：2¹=02不参与最后两位数字的周期（循环）！是唯一的“编外人员”！ 2²到2²¹为最后两位数字循环的第一个完整周期！ (999－1)÷20=49……18， 2²为第一个，第十八个2¹⁹为524288， 故2⁹⁹⁹的最后两位数字=2¹⁹的最后两位数字=88。
3、小结 从最简单开始依次列举→观察、寻找和发现规律→（循环）周期性，万事大吉。 二、举一反三：低层次的学习中学到的东西应用于高层次的学习中请直接看下面的高中三角函数题： 已知函数f(x)=sin(x+15π/4)+cos(x-11π/4)，x∈R，则f(π/4)+f(2π/4)+f(3π/4)+…+f(2019π/4)=____.
表面上看起来形式上似乎比较复杂，其实不过是高考送分的纸老虎： 首先用诱导公式化简函数。然后后面函数自变量的取值为等差数列，而化简后的三角函数又具有明确的周期性，于是就根据周期性分组求值，n组的和=n倍第一组的和，再单独计算不完整周期的特殊一组即可。规律的绝大部分统一处理，特殊的极小部分单独处理。 此题大家可以下去算一下。 除了数字、三角函数，还有一些其他的特殊函数、数列等，在高考数学的填空题中会需要发现规律，当然规律可以是我本文讲的周期性，也可以是其他的一些规律（如相消），大家只要不“死学”、“死做题”，都能够轻而易举地发现那些故意玩出来的“把戏”，从而将“庞大”的纸老虎一火灭之。 |
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