初三学生必须掌握的技能，中考数学几何图形中常见的最值问题求法

平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类题型常让考生无从下手。今日许多分老师把常见的最值问题的解法呈现给大家，帮助大家提高解决这类问题的能力。

几何图形中的常见最值问题大概有四大类型：轴对称变换中的最值问题、利用垂线段最短解决的最值问题、三角形三边关系的最短路径问题、平面展开图中的最值问题。

第一、轴对称变换中的最值问题

1、例题展示：点A、点B在直线l两侧，在直线l上找一点P，使PA+PB值最小。

分析：根据两点之间线段最短，点P既在直线l上又在线段AB上，PA+PB值最小。

解题过程如下：

2、例题展示：点A、点B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB值最小。

分析：利用轴对称的性质找一个点E，使得PE=PB，因而PA+PB=PA+PE，要使PA+PB最小，只要PA+PE最小，因此只要P、A、E三点共线即可。

解题过程如下：

3、例题展示：

解题过程如下：

4、例题展示：已知坐标系中A(1,2)，B(4,1)，在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使四边形ACDB的周长最小，则点C的坐标为_________，点D的坐标为_____________。

分析：本题两个动点C、D，要使四边形ACDB的周长最小，只要AC+CD+BD+AB的值最小，而AB是一个定值，只要AC+CD+BD最小。作点A关于y轴的对称点E,作点B关于x轴的对称点F，则AC=EC,BD=FD,AC+CD+BD=EC+FD+CD，只要E、C、D、F共线，则EA+FD+CD最小，从而AC+CD+BD最小。

解题过程如下：

二、利用垂线段最短解决最短路径问题

1、例题展示：求点P到直线l的最短路径。

分析：根据垂线段最短，P到直线l最短的距离是点P到直线l的垂线段的长。

解答过程如下：

2、例题展示：如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AB经过点A(-4,0)、B（0,4）,⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为__________。

解题过程如下：

三、三角形三边关系的最短路径问题

1、例题展示：如图，E,F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF,链接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_______ 。

解题过程如下：

2、例题展示：

解题过程如下：

四、平面展开图中的最值问题

我们常常遇到蚂蚁从一个几何体的一个侧面上一个点，绕过侧面走到另一个点，怎样走最近的问题。通常将曲面展平，转化为两点之间线段最短、垂线段最短问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题。

1、例题展示：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为___________

分析：这是一个蚂蚁爬行的最短路径问题，将圆柱的侧面展平，得到一个矩形。蚂蚁从容器外壁爬到容器内壁最短，就是蚂蚁沿圆柱侧面爬到容器顶经过某一个点P，再爬到点A的最短路径，实际上就是在一边DE上找一点P，使PA1+PB最小。根据轴对称——最短路径问题的作图步骤得蚂蚁沿线段BA2最短，根据勾股定理可得BA2的长。

解题过程如下：

小结：在解决几何最值问题当中用到了数学中的化归思想、数形结合思想。解决这类问题需要同学们理解书本上的原理：两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。