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高二数学教案 概率的基本性质

 zd山笑 2019-06-12

 

 上一次课我们学习了概率的意义,举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们要来研究概率的基本性质。在研究性质之前,我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。

一、事件的关系与运算
老师做掷骰子的实验,学生思考,回答该试验包含了哪些事件(即可能出现的结果)
学生可能回答:﹛出现的点数=1﹜记为C1, ﹛出现的点数=2﹜记为C2, ﹛出现的点数=3﹜记为C3, ﹛出现的点数=4﹜记为C4, ﹛出现的点数=5﹜记为C5, ﹛出现的点数=6﹜记为C6.
老师:是不是只有这6个事件呢?请大家思考,﹛出现的点数不大于1﹜(记为D1)是不是该试验的事件?(学生回答:是)类似的,﹛出现的点数大于3﹜记为D2,﹛出现的点数小于5﹜记为D3,﹛出现的点数小于7﹜记为E,﹛出现的点数大于6﹜记为F,﹛出现的点数为偶数﹜记为G,﹛出现的点数为奇数﹜记为H,等等都是该试验的事件。 那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢?
1、  学生思考若事件C1发生(即出现点数为1),那么事件H是否一定也发生?
学生回答:是,因为1是奇数
   我们把这种两个事件中如果一事件发生,则另一事件一定发生的关系,称为包含关系。具体说:一般地,对于事件A和事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B),记作 (或 )
特殊地,不可能事件记为 ,任何事件都包含 。
练习:写出  D3与E的包含关系(D3 E)
2、再来看一下C1和D1间的关系:先考虑一下它们之间有没有包含关系?即若C1发生,D1
是否发生?(是,即C1 D1);又若D1发生,C1是否发生?(是,即D1  C1)
   两个事件A,B中,若 ,那么称事件A与事件B相等,记作A=B。所以C1 和D1相等。
   “下面有同学已经发现了,事件的包含关系和相等关系与集合的这两种关系很相似,很好,下面我们就一起来考虑一下能不能把事件与集合做对比。”
试验的可能结果的全体    ←→     全集
          ↓                       ↓
      每一个事件        ←→     子集
这样我们就把事件和集合对应起来了,用已有的集合间关系来分析事件间的关系。
3、集合之间除了有包含和相等的关系以外,还有集合的并,由此可以推出相应的,事件A和事件B的并事件,记作A∪B,从运算的角度说,并事件也叫做和事件,可以记为A+B。我们知道并集A∪B中的任一个元素或者属于集合A或者属于集合B,类似的事件A∪B发生等价于或者事件A发生或者事件B发生。
   练习:G∪D3 =?G=﹛2,4,6﹜,D3 =﹛1,2,3,4﹜,所以G∪D3 =﹛1,2,3,4,6﹜。若出现的点数为1,则D3发生,G不发生;若出现的点数为4,则D3和G均发生;若出现的点数为6,则D3不发生,G发生。
由此我们可以推出事件A+B发生有三种情况:A发生,B不发生;A不发生,B发生;A和B都发生。
4、集合之间的交集A∩B,类似地有事件A和事件B的交事件,记为A∩B,从运算的角度说,交事件也叫做积事件,记作AB。我们知道交集A∩B中的任意元素属于集合A且属于集合B,类似地,事件A∩B发生等价于事件A发生且事件B发生。
  练习:D2∩H=?(﹛大于3的奇数﹜=C5)
5、事件A与事件B的交事件的特殊情况,当A∩B= (不可能事件)时,称事件A与事件B互斥。(即两事件不能同时发生)
6、在两事件互斥的条件上,再加上事件A∪事件B为必然事件,则称事件A与事件B为对立事件。(即事件A和事件B有且只有一个发生)
   练习:⑴请在掷骰子试验的事件中,找到两个事件互为对立事件。(G,H)
         ⑵不可能事件的对立事件
7、集合间的关系可以用Venn图来表示,类似事件间的关系我们也可以用图形来表示。
:                    A=B:
A∪B:                  A∩B:
A、B互斥:            A、B对立:
8、区别互斥事件与对立事件:从图像上我们也可以看出对立事件是互斥事件的特例,但互斥事件并非都是对立事件。
  练习:⑴书P121练习题目4、5
        ⑵判断下列事件是不是互斥事件?是不是对立事件?
①     某射手射击一次,命中的环数大于8与命中的环数小于8;
②     统计一个班级数学期末考试成绩,平均分不低于75分与平均分不高于75分;
③     从装有3个红球和3个白球的口袋内任取2个球,至少有一个白球和都是红球。 
      答案:①是互斥事件但不是对立事件;②既不是互斥事件也不是对立事件
            ③既是互斥事件有是对立事件。
二、概率的基本性质:
提问:频率=频数\试验的次数。
我们知道当试验次数足够大时,用频率来估计概率,由于频率在0~1之间,所以,可以得到概率的基本性质:
1、任何事件的概率P(A),0≦P(A)≦1            
2、那大家思考,什么事件发生的概率为1,对,记必然事件为E,P(E)=1
3、记不可能事件为F,P(F)=0
4、当A与B互斥时,A∪B发生的频数等于A发生的频数加上B发生的频数,所以
= + ,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)。
5、特别地,若A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A∪B)=1=P(A)+P(B)→P(A)=1-P(B)。
  例题:教材P121例
  练习:由经验得知,在某建设银行营业窗口排队等候存取款的人数及其概率如下:
排队人数
0 ~ 10 人
11 ~ 20 人
21 ~ 30 人
31 ~ 40 人
41人以上
  概率
   0.12
  0.27
   0.30
   0.23
   0.08
计算:(1)至多20人排队的概率;
     (2)至少11人排队的概率。
三、课堂小结:
1、把事件与集合对应起来,掌握事件间的关系,总结如下表
符号
Venn图
概率论
集合论


必然事件

全集

不可能事件
空集

A

事件

子集

事件B包含事件A
(事件A发生,则B一定发生)

集合B包含集合A

A = B

事件A与事件B相等

集合A与集合B相等
A∪B
(A+B)
事件A与事件B的并事件
(或者事件A发生,或者事件B发生)

集合A与集合B的并
A∩B
(AB)
事件A与事件B的交事件
(事件A发生,且事件B发生)

集合A与集合B的交

A∩B=
事件A与事件B互斥
(事件A和事件B不能同时发生)

集合A与集合B不相交
A∩B=
A∪B=
事件A与事件B对立
(事件A与事件B有且仅有一个发生)

集合A与集合B不相交
2、概率的基本性质:(1)0≦P(A)≦1       (2)概率的加法公式
四、课后思考:概率的基本性质4,若把互斥条件去掉,即任意事件A、B,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
    提示:采用图式分析。        

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