2019高考100题之073(数列3)

       分析：

       该题不难，但是易错，我个人的建议是在考前最后一段时间，多做简单中等题，要把易错点再夯实一下.

       由等差数列前n项和S_n=dn²/2+(a₁-d/2)n(昨天说过，这个得牢记在心).

       这道题大家第一反应就得知道该数列为等差数列，公差为-2，首项为9，所以a_n=-2n+11.

       但是这个只是你心中的反应，如果是大题，是不可以这么干的.

       我们必须用到如下结论：

       不过你可以假装用了这个结论，然后直接写出a_n=-2n+11.

       然后可以知道n<6时，a_n>0，

       此时b_n前n项和为S_n=-n²+10n.

       注意根据以往经验，很多同学上面会回答S₅.

       当n>5时，a_n<0.

       此时b_n前n项和为：

       a₁+a₂+a₃+a₄+a₅-(a₆+…+a_n)

       =S₅-(S_n-S₅)

       =2S₅-S_n

       =n²-10n+50.

       对于上述的a₆+…+a_n，很多同学会重新利用等差数列求和公式求一次，也可以这么做，但是容易犯错误，所以没这个必要.

       其实上题从头到尾可以不出现“等差”两个字，只要知道其为递减数列，前五项为正数，从第六项起为负数即可.

       比如如果将上题的S_n改为S_n=-n²+40n-2ⁿ，做法也是一样的，不用去纠结等差和等比的事，做法如下：

       可求得a_n=-2n+41-2^n-1(n>1),a₁=37，

       所以{a_n}为递减数列.

       当n<6时，a_n>0，

       此时b_n前n项和为S_n=-n²+40n-2ⁿ.

       当n>5时，a_n<0.

       此时b_n前n项和为：

       a₁+a₂+a₃+a₄+a₅-(a₆+…+a_n)

       =S₅-(S_n-S₅)

       =2S₅-S_n

       =n²-40n+2ⁿ+286.