2019高考100题之073(数列4)

       分析：

       这类题可以从前三项入手，然后再检验一般情况是否符合.

       由a₂=2a₁+2，a₃=2a₂+3=4a₁+7.

       若{a_n}是等差数列，则可以解得a₁=-3，a₂=-4，所以a_n=-n-2，

       代入原式符合题意.

       若{a_n}是等比数列，则可以解得a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，但是a₄=-14，

       所以不符合，{a_n}不可能是等比数列.

       针对递推数列a_n=2a_n-1+n，如果去求通项公式，在最近的高考题中很少涉及，偶尔会出现a_n=2a_n-1+c的形式，但是我觉得即使不考，这类递推也应该掌握.

       两个常见的方法，一个贴近等比，一个贴近等差：

       法一：

       将n这个一次的式子拆分，构造如下式子：

       a_n+xn+y=2[a_n-1+x(n-1)+y]，

       打开化简可得a_n=2a_n-1+xn-2x+y,

       然后利用待定系数法求得x=1,y=2.

       所以a_n=(a₁+3)2^n-1-n-2.

       从该通项公式可以看出a₁=-3时{a_n}为等差数列.

       a₁≠-3时，{a_n}是一个等比数列和一个等差数列的和.

       法二：

       在a_n=2a_n-1+n的两侧同时除以2ⁿ，

       得到a_n/2ⁿ=a_n-1/2^n-1+n/2ⁿ，

       设b_n=a_n/2ⁿ,则b_n=b_n-1+n/2ⁿ，

       然后类比等差数列求通项公式的方法“累加法”求b_n.

       只不过需要用到错位相减求和，比较麻烦，所以对这道题来说这个方法不是最好的方法.

       但是下面这道题：

       教材P52-2：

       数列{a_n}中，a₁=1/5，a_n+a_n+1=6/5ⁿ⁺¹，求其前n项和.

       分析：

       该题利用上述法二求通项很方便：

       a_n+1=-a_n+6/5ⁿ⁺¹，

       两侧同时除以(-1)ⁿ⁺¹，

       得：a_n+1/(-1)ⁿ⁺¹=a_n/(-1)ⁿ+6/(-5)ⁿ⁺¹，

       然后累加即可，后面只需要用到等比求和.