2019高考100题之077(数列7)

       分析：

       因为一次函数上的任意一点都是其对称中心，而等差数列是一次函数图象上等距离的散点，所以等差数列求和可以用倒序相加法.

       那么只要是具有对称中心的函数，都可以构造出和倒序相加法有关的数列求和问题，比如常见的奇函数、三角函数、三次函数等等.

       对于函数f(x)=4^x/(4^x+2)，乍一看可能不知道对称性，但是第一问给了提示，所以我们可以联想到f(x)+f(1-x).

       计算f(x)+f(1-x)=4^x/(4^x+2)+4^1-x/(4^1-x+2)

       =4^x/(4^x+2)+4/(4+2×4^x)

       =4^x/(4^x+2)+2/(2+4^x)

       =1.

       所以函数f(x)关于点(0.5,0.5)对称.

       记数列{a_n}的前1000项和为S，则：

       S=f(1/1001)+f(2/1001)+...+f(1000/1001);

       S= f(1000/1001)+ f(999/1001)+...+ f(1/1001).

       所以2S=1000，所以S=500.

       函数f(x)=4^x/(4^x+2)=1-2/(4^x+2)，所以其为单调增函数.

       那么上题也可以换个角度考查，如下：

       已知数列{a_n}是等差数列，且满足：

       f(a₁)+f(a₂)+...+f(a_n)=500，那么必有a₁+a_n=1.

       比如2012年四川文科12题：

       设函数f(x)=(x-3)³+x-1，数列{a_n}是公差不为0的等差数列，f(a₁)+f(a₂)+...f(a₇)=14，则a₁+a₂+...+a₇=

       A.0    B.7    C.14    D.21

       分析：

       函数f(x)关于点(3,2)对称，且是增函数.

       所以a₁+a₇只能等于6，结合图象，你自己去想想为啥不能小于6或大于6.