2019高考100题之094(概率统计7)

(094.2018年高考天津理科16题)

       已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

(094.2018年高考天津文科15题)

       已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．

（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

       分析：

       是不是觉得简单的要死，别嫌弃哈.

       还有一周高考，你不看简单的要死的题，难道你想死呀？

       这两道题复习了古典概型，理科不用把基本事件空间列举出来，文科必须列举，否则会扣分.

       理科是一道特殊的古典概型——超几何分布，大家要把超几何分布和二项分布区分开：

       再举例说明二项分布和超几何分布的区别，一个盒子中有大小相同五个小球，其中三个黑色，两个是白色：

     （1）一次性从中取出三个球，问取出黑球个数的分布列，是超几何分布；

     （2）有放回地取三次球，每次取一个，问取出黑球个数的分布列，是二项分布.

       注意这儿两道题的黑球个数的期望都是3×3/5.

       对于超几何分布来说，期望是很好记忆的，五个球中有三个黑球，问三个球中平均有多少个黑球，成比例，所以有3×3/5个黑球.

       超几何分布的期望可以直接使用，如果没有要求写出分布列，就不用写.

       理科：

      （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

      （Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．

       所以，随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	1/35	12/35	18/35	4/35

       随机变量X的数学期望E(X)=12/7.

    （ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，

       由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，

       故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=6/7．

       文科：

       由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

    （Ⅱ）

    （i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

   （ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．

       所以，事件M发生的概率为P(M)=5/21．