2019高考100题之095(概率统计8)

(095.2018年全国1卷理科20题)

       某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立。

(1) 记20件产品中恰有两件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p₀.

(2) 现对一箱产品检验了20件，结果恰有两件不合格品，以（1）中确定的p₀作为p的值。已知每件产品的检验费为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？  

(095.2018年全国1卷文科20题)

       某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用 水量	[0,0.1)	[0.1,0.2)	[0.2,0.3)	[0.3,0.4)	[0.4,0.5)	[0.5,0.6)	[0.6,0.7)
频数	1	3	2	4	9	26	5

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用 水量	[0,0.1)	[0.1,0.2)	[0.2,0.3)	[0.3,0.4)	[0.4,0.5)	[0.5,0.6)
频数	1	5	13	10	16	5

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

       分析：

       华南农业大学有一位数学教授叫曹广福，他有个公众号叫“曹广福的数学茶馆”，他写了四篇文章批判了上述的理科题.

       主要针对两个点：一是“设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)”这句话说的不规范，第二是这个到底是不是二项分布？

       对于临考的我们来说，最忌讳就是像这位教授一样较真，第一不要纠结哪句话说的规不规范，那是数学家和教育家的事；第二最关键的是做概率统计题不可以具有丰富的联想能力，题中说啥就是啥.

       正常情况从200件中挑出20件，是属于超几何分布的问题，如果将200变很大，就可以近似为二项分布，问题是这个很大到底是多大，一般题中不会有具体的数字，比如说从大量的样本个体中抽取20个。

       而这道题题干中说了“且各件产品是否为不合格品相互独立”这句话，那你就不要去担心别的了，我们秉着“你是老大你有理”的原则来做概率统计题就可以。

       对于这道文科题，大家一定要把频率分布直方图中常见的问法搞明白，这个在2018高考数学100弹之第80弹：样本估计总体作了详细说明。

理科：

文科：