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“点光源”才是罪魁祸首 '飞蛾扑火'是一种非常常见的自然现象，但其原因却经常被人们误解为趋光性，而实际上并非如此，尤其是飞蛾，知乎上有一个提问叫《昆虫为什么不会因趋光性齐刷刷地奔向太阳？》，这个问题提得很好，因为光看到这个标题，心里就已经开始对“趋光性”表示怀疑了。 其实，到目前为止，“飞蛾扑火”的真正原因依然还在争论当中，就此问题有很多相关的理论。不过有一种传播较为广泛的理论认为：飞蛾并非因为喜欢亮光而扑火，而是受光源特性的影响。 主要是因为飞蛾一般在夜晚比较活跃，而夜晚飞行的飞蛾也需要利用光亮为自身导航。在纯自然环境下的晴朗夜晚，飞蛾会倾向于利用月光为自己的路线导航，这种其实就是在不出意外的情况下尽量保持直线飞行，毕竟两点之间直线最短。 那么它为了保持直线，一种最简单的方法就是和月光的光线保持一定的角度（假设是45°）。由于月球离地球很远，月光可近似视为“平行光”，可以想象到，只要保持飞行路径和一束平行光之间的夹角保持不变，即可实现按直线飞行。 不断进化过程的中，飞蛾并没有丢失这种靠月光为自己夜晚的直线飞行进行导航的本能。但是，后来人类学会了使用“火”，这种人造的光源与自界中的太阳光或反射太阳光而形成的月光的一个显著的区别是：人造的多为点光源，而非平行光，如烛光。 人类学会使用火的历史相对于飞蛾出现的历史显然是足够短的，并且人类对大自然的影响毕竟有限，还远远做不到对飞蛾进行自然选择以教会世界上所有的蛾子区分自然平行光与人造点光。所以飞蛾还是当年那个依靠光线为自己导航的飞蛾。当遇到点光源的时候依然按照对待自然平行光的那一套，结果就如下图所示： 这就好比，“猫走不走直线，取决于耗子；蛾子飞不飞直线，取决于光源”。在只有微弱月光的夜晚，飞蛾本来飞得好好的，结果靠近了一个亮得多的烛光，烛光的光线呈现放射状，假设飞蛾飞行轨迹和烛光的圆心点位于同一平面，而且飞蛾飞行方向与光线方向始终保持45°（当然也可以是其他角度，这里是为了方便计算），那么，其运动轨迹将是一条“等角螺线”！ 上面的图如果难以令人信服的话，下面这个延时摄影图更真实地记录了点光源附近飞蛾的运动轨迹。 飞蛾就傻傻地一圈圈靠近光源，直到遇到火，然后就没有然后了。 我们甚至可以就该问题来计算一下飞蛾的飞行路径，以验证这种所谓的“等角螺线”轨迹。 假设烛光在坐标原点，飞蛾的位置为(x, y)点，先把飞蛾位置放在第一象限，这样更方便计算。将飞蛾与烛光两点连线，设该线段与 X 轴正方向之间的夹角为α。 显然有tanα=y/x。设飞蛾的飞行路径为y=y(x)，则有： 由此得到齐次微分方程： 采用逆代法，令z=y/x，则有y=zx；y'=z'x+z. 所以有： 两边积分得： 这个通解的样子挺难看的，我们不妨用极坐标试试，上式就可写为下式：
完美！感谢 Euler Formula (欧拉公式) ~ 通过上式，我们得到了堪称完美的指数螺旋线，自然界中这种绕一点的等角度运动形成的就是以自然底数为底的指数螺旋曲线。比如，海螺什么的，这或许是自然底数之所以谓之“自然”的一种原因吧。
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