兔子繁殖问题

题目——

有一对兔子出生，从第三月起，每个月生一对兔子，出生的兔子也是第三月起每个月生一对兔子，请问2年后，共有多少只兔子？

分析思路——

斐波那契数列问题，用递归方法解决

我的程序——

思路一： 传统的递归方法

<pre name="code" class="java">public static long calculate(long n){
       if(n == 1){
             return 1;
   }else if(n == 2){
             return 1;
   }else {
           return calculate(n -1) + calculate(n -2);
    }
}

   然而，这种算法的时间复杂度是 O(2^n)。我是这样计算的，假设找出第n个月兔子总数的算法的复杂度（时间）是T（n）,而用一个常量

A来表示找出第1和2个月兔子总数所花费的时间；那么将会有： T（n） = T（n -1）+ T(n - 2) + A； 用高中数列知识解，可知其结果是2^n的数量级的。

思路二——

注意到最新一个月的兔子数量肯定是前两个月的兔子数量的相加。为了避免思路一那样冗余的计算到第一和第二个月的结果，我们每算出一个月的结果便用两个变量来存储前两个月的数目，如此通过相加即可得到最后一个月的数目。 

import java.util.Scanner;
public class Main {
 public static void main(String[] args) {
  Scanner scan = new Scanner(System.in);
  //输入第n个月
  int n = scan.nextInt();
  System.out.println(calculate(n));
 }
 private static long calculate(long n){
  long f1 = 1;
  long f2 =1 ;
  long f3 = 2;
  if(n == 0){
   return f1;
  }else if(n == 1){
   return f2;
  }else if(n ==2){
   return f3;
  }
  for (int i = 3; i <=n; i++) {
   f1 = f2;
   f2 = f3;
   f3 = f1 + f2;
  }
  return f2;
 }
}

明显，思路二的时间主要地花在了  for (int i = 3; i <=n; i++) {

   f1 = f2;

   f2 = f3;

   f3 = f1 + f2;

  }

   这个循环里，因此整个程序的时间复杂度是O(n) ，改进了不少。