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一道台湾高中竞赛题的证明

2019-06-19  当以读书...

下列题目是1993年台湾高中数学竞赛决赛中一道几何证明题:

:如图1,设M为圆弧AB上的中点,C为弧AMB上异于M的点,且ACBC,并设D为自M所作AC的垂线的垂足.

试证:ADDCBC

一道台湾高中竞赛题的证明

分析:这是线段和差关系的证明题,其证明方法一般有两种——截长法和补短法。

所谓截长法就是在较长的线段上截取一段与较短两条线段中的一条相等,再证剩下的一段与另一条线段相等.

所谓补短法就是把较短两条中的一条延长,把两条较短的线段合并为一条线段,再证合并后的线段等于较长的线段.

这两种证法的总体思路就是“截长”“补短”证相等。

下面分别用这两种方法对该题进行证明。

方法一:截长法

由于AD较长,故在AD上截取一段与DC(或BC)相等的一段,然后再证明AD上剩下的一段等于另一条线段BC(或DC)即可.此时有如下两种证法:

证1(在AD上截取与DC相等的一段)。由于MD⊥AC于D,故在AD上截取DEDC,可得MD是CE的垂直平分线(注意不要截取AE=DC,否则缺乏特殊性),连结MCME(如图2).

一道台湾高中竞赛题的证明

则由已知,得MD垂直平分CE

所以MEMC

所以∠MEC=∠MCA

因为M是弧AB的中点,

所以MAMB

设弧AM的度数为2m,弧BC的度数为2n

则弧CM的度数为2(mn),

所以∠AME=∠MEC-∠MAC=∠MCA-∠MAC

m-(mn)=n=∠BMC

即∠AME=BMC

所以ΔAME≌ΔBMC

所以AEBC

所以ADAEDEBCDC

证2(在AD上截取与BC相等的一段)

如图2,在AD上截取AEBC(之所以不截取DE=BC是因为考虑到MD垂直AD),连结MCME

在ΔMAE与ΔMBC中,

MAMBAEBC,∠MAE=∠MBC

∴ΔMAE≌ΔMBC

MEMC

∴ΔMEC是等腰三角形,

MD是底边上的高,

所以DEDC

所以ADDCBC

方法2:补短法:

由于DCBC较短,把它们并为一条,再证合并后的线段等于AD即可.此时有如下两种证法:

证3(在DC上补BC)

一道台湾高中竞赛题的证明

如图3,延长DCE,使CEBC(下面只须证明DEAD即可).

连结MEMC,在ΔMBC与ΔMEC中,

因为∠MCE与∠MCA互补,

MCB与∠MAB互补,

又∠MCA=∠MBA=∠MAB

所以∠MCE=∠MCB

MCMCBCEC

∴ΔMCE≌ΔMCB

MEMBMA

MDMD

RtΔMDERtΔMDA

所以DEAD

所以ADDCBC

证4 如图4,延长BCE,使CECD,连结MEMC

一道台湾高中竞赛题的证明

在ΔMCE与ΔMCD中,

MCE=∠MAB=∠MBA=∠MCD

CECDMCMC

∴ΔMCE≌ΔMCD

MEMD,∠E=∠MDCRt∠,

RtΔMADRtΔMBE

ADBEDCBC

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