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2018东营市中考数学压轴题

2019-06-19  当以读书...

(2018·东营)如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a>0)与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC.

(1)求线段OC的长度;

(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2018东营市中考数学压轴题

2018东营市中考数学压轴题

【答案】

解:(1)由题可知当y=0时,a(x﹣1)(x﹣3)=0,

解得:x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0),

∴OA=1,OB=3

∵△OCA∽△OBC,

∴OC:OB=OA:OC,

∴OC²=OA·OB=3,

则OC=√3;

(2)∵C是BM的中点,即OC为斜边BM的中线,

∴OC=BC,

∴点C的横坐标为3/2,

又OC=√3,点C在x轴下方,

∴C(3/2,﹣√3/2),

设直线BM的解析式为y=kx+b,

把点B(3,0),C(3/2,﹣√3/2)代入得:

3k+b=0,3/2 k+b=-√3/2,

解得:b=﹣√3,k=√3/3,

∴y=√3/3x﹣√3,

又∵点C(3/2,﹣√3/2)在抛物线上,代入抛物线解析式,

解得:a=(2√3)/3,

∴抛物线解析式为y=(2√3)/3x²﹣(8√3)/3x+2√3;

(3)点P存在,

设点P坐标为(x,(2√3)/3x²﹣(8√3)/3x+2√3),过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q,

则Q(x,√3/3x﹣√3),

∴PQ=√3/3x﹣√3﹣((2√3)/3x²﹣(8√3)/3x+2√3)

=﹣(2√3)/3x²+3√3x﹣3√3,

当△BCP面积最大时,四边形ABPC的面积最大,

S△BCP=1/2PQ(3﹣x)+1/2PQ(x﹣3/2)

=3/4PQ

=﹣√3/2x²+(9√3)/4x﹣(9√3)/4,

当x=﹣b/2a=9/4时,S△BCP有最大值,四边形ABPC的面积最大,此时点P的坐标为(9/4,﹣(5√3)/8).

2018东营市中考数学压轴题

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