诺特定理: 引领物理学100年发展, 是现代物理学的基石

2019-06-21  Purefact

20世纪是经典物理学的终结,现代物理学的开始,提到现代物理学,大家可能想到最多的就是广义相对论、量子力学这对现代物理学的双子星,或者是波粒二象形、薛定谔的猫、海森堡测不准定理等,可是要提起现代物理学,是绝对不能少了这个伟大的定理—诺特定理,它是20世纪、21世纪物理学的指路明灯,引领了物理学 100 年的发展,是现代物理学的基石。

它的提出者艾米·诺特几乎少有人知,她被誉为有史以来最伟大的女数学家,是现代数学之母、抽象代数之母,是可以和高斯、欧拉并列的数学天才,20世纪数学界有两个人是无法忽略的,他们对20世纪以来的数学起到了引领性的作用,一个是“数学之王”希尔伯特,希尔伯特最伟大的成就是培育了一大批数学家,可以说撑起了 20 世纪数学的半边天,他提出的“希尔伯特”方案至今仍对数学研究的方向起到引领作用。

而另外一位就是诺特,诺特彻底改变了环、域和代数的理论,使抽象代数学真正成为一门数学分支,她允许学者们无条件地使用她的工作成果,也因此被人们尊称为“当代数学文章的合著者”,她开创的诺特学派至今仍在影响数学界,被帕维尔·亚历山德罗夫、阿尔伯特·爱因斯坦、让·迪厄多内、赫尔曼·外尔和诺伯特·维纳形容为数学史上最重要的女人。

然而诺特本人是不幸的,她的父亲虽然是著名数学家,著名的“ 不等式之王” 高丹教授是父亲的密友,在他们的影响下,诺特在数学上具有极大的天赋。

然而当时大学并不允许女生注册,诺特只能作为旁听生,后来大学允许女生上学之后,诺特考取了博士,成为第一位女数学博士,但是她还是没有摆脱歧视,她虽然凭借自己强大的科学成就成为了讲师,却没有薪资。她只能从学生的学费中支取一点点薪金,来维持极其简朴的生活。

左四希尔伯特

而后来希特勒上台,作为犹太人的诺特被剥夺了教学的资格,她被迫乘船前往美国,却又死于外科手术。去世的时候才 53 岁。

如果诺特没有生活在那样的环境,她的成就会更大,这是科学史上的遗憾。

诺特一生最幸运的事情就是遇见了希尔伯特,这两位20世纪最伟大的数学家并没有如牛顿莱布尼茨一样针锋相对交恶数十年,影响数学界数十年的发展。

希尔伯特与诺特亦师亦友。而在聆听希尔伯特的讲课之后,诺特受益匪浅,诺特一生深受希尔伯特的影响,而希尔伯特也十分欣赏她的才华。

也是因为有希尔伯特的帮助,她才能够进行教学工作,当时希尔伯特想为诺特在哥廷根大学谋求一份工作,这样,诺特也有一个安定的环境进行科学研究。

然而当时的哥廷根大学没有专门的数学系。数学、语言学、历史学都划在哲学系里,聘请讲授必须经过哲学教授会议批准。希尔伯特的努力遭到教授会议中语言学家和历史学家的极力反对,他们出于对妇女的传统偏见,连聘为“私人讲师”这样的请求也断然拒绝。

希尔伯特屡次据理力争都没有结果,他气愤极了,在一次教授会上愤愤地说:“我简直无法想象候选人的性别竟成了反对她升任讲师的理由。先生们,别忘了这里是大学而不是洗澡堂!”

虽然最终没有成为讲师,但是诺特被允许以希尔伯特的名义授课,1916年,诺特应邀来到哥廷根大学,以希尔伯特的名义讲授不变式论课程。

1918年,她在希尔伯特等人的思想影响下,发表了两篇重要论文。其中一篇,就是我们今天要讲的诺特定理。

我们知道,物理学中有两个著名的概念;守恒定律和对称性。1748年7月16日,罗蒙诺索夫在写给伟大的数学家莱昂哈德·欧拉的信中做出了首次阐述了守恒定律。

例如,他写道“自然界所发生的一切变化,都是这样的:一种东西失去多少,另一种东西就获得多少。例如,如果某个物体增加了若干物质,另一物体必然有若干物质消失;我睡了多久,那我就必然少清醒多久,如此等等。”

守恒定律被誉为科学史上最伟大的发现之一,也是自然界最普遍、最重要的基本定律之一。从物理、化学到地质、生物,大到宇宙天体。小到原子核内部,只要有能量转化,就一定服从 能量守恒的规律。

从日常生活到科学研究、工程技术,这一规律都发挥着重要的作用。人类对各种能量,如煤、石油等燃料以及水能、风能、核能等的利用,都是通过能量转化来实现的。能量守恒定律是人们认识自然和利用自然的有力武器。

人们对于物理学中对称性的研究其实很早,对称性是现代物理学中的一个核心概念,系统从一个状态变换到另一个状态,如果这两个状态等价,则说系统对这一变换是对称的。或者说给系统一个“操作”,如果系统从一个状态变到另一个等价的状态,则说系统对这一操作是对称的。

当然这是现代物理学的解释了,物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性。

德国数学家外尔是把对称性运用到物理学中并意识到规范对称重要性的第一人。由此也为后来的规范场论奠定了基础。外尔在自己的专著《对称》中对对称性有一个简单明了的阐述:如果你对一个物体进行某些操作,在这些操作完成之后,它看起来和之前是一样的,那么这个物体就是对称的。例如,球体是完全对称的:无论你朝哪个方向转动球体,它看起来都是一样的。同样地,对称性也普遍存在于物理学定律中:物理方程在时间或空间的不同位置不会改变。

而系统规范地提出对称性这一概念的还是 1918 年诺特提出的诺特定理,诺特定理可表述为: 对于力学体系的每一个连续的对称变换 ,都有一个守恒量与之对应。对称变换是力学体系在某种变换下不变。

简单来说如果运动规律具有一种对称性,必相应地存在一条守恒定律。诺特定理联系了物理学中的两个重要概念:对称性和守恒。

由诺特定理,能量守恒来自于时间的平移对称性。比如火箭发射会将燃料中的化学能转化为动能和势能,由于时间的对称性,因此总能量保持不变,也就是无论你今天发射火箭还是明天发射火箭,你化学能转化为动能和势能不可能会随着时间而改变的。再比如我们把水提升到蓄水池中,所需要做的功是不会随着时间改变的,不可能说今天重力就变弱了,把水提升到蓄水池中,所需要做的功就会变少。

同样地,动量守恒源自于空间中的平移对称性。例如,在牛顿摆中,当一个球击中另一个时,另一端的球会向外飞,保持动量守恒。这是为什么?因为空间的对称性。打一个比方,我在两个不同的地方举 100 KG 的石头,举不举得起不会因为空间的变换而改变,这就是空间的对称对称性,而也不会因为空间的平移受到的力会改变,动量是守恒的。

而角动量守恒则是从旋转对称性(即物理规律在空间旋转时保持不变)中出现。而当一位溜冰者把她的手臂收起时,她的旋转速度会加快。这是因为总的角动量必须保持不变,而这要归功于旋转对称性。

所以在经典力学体系下,诺特定理中能量守恒对应时间平移不变性动量守恒对应空间平移不变性角动量守恒对应于旋转不变性

也就是说物理规律在时间、空间和旋转上都是对称的。根据诺特定理,这些对称性表明能量、动量和角动量是守恒的。

后来,诺特定理深入到量子力学,也就是微观领域,一个基本粒子与它的“镜像”粒子的所有性质也完全相同,除自旋方向外它们的运动规律也完全一致,具有完全相同的性质,则被称为宇称守恒。“宇称”,粗略的说,可理解为“左右对称”或“左右交换”。

宇称守恒都符合粒子的三个基本的对称方式:

1、一个是粒子和反粒子互相对称,即对于粒子和反粒子,定律是相同的,这被称为电荷(C)对称。

2、一个是空间反射对称,即同一种粒子之间互为镜像,它们的运动规律是相同的,这叫宇称(P)。

3、一个是时间反演对称,即如果我们颠倒粒子的运动方向,粒子的运动是相同的,这被称为时间(T)对称。

宇宙中有四大力,弱力、引力、电磁力都符合宇称守恒,只有弱力不符合,也正是这一点点的不对称,才诞生了这缤纷多彩的宇宙,而杨振宁与李政道也因为发现了弱力不守恒而获得了诺贝尔奖。

诺特定理可以说揭示了自然界最深层次的奥秘,并且它还成为了理论物理的中心结果之一, 诺特定理和量子力学深刻相关,因为它仅用经典力学的原理就可以认出和 海森堡测不准原理相关的物理量(譬如位置和动量)。可以说诺特定理是罕见适用于经典力学与量子力学的伟大定理之一,因为我们知道经典力学和量子力学的研究领域并不相同。

到了20世纪下半叶,诺特定理成为了粒子物理学标准模型的基础。标准模型描述了微观尺度的世界,并预言了希格斯玻色子的存在。因为对于宇宙大一统理论的研究,以及标准模型的构建,离不开规范场论,规范场论是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。

在发现守恒定律的任何地方,物理学家都在寻找对称性,反之亦然。比如人们就在电磁力中成功发现了电荷守恒,而对于诺特定理的研究、深入、扩展,也让粒子物理学的标准模型得到不断的发展。

诺特定理是发展量子引力的潜在理论的必要工具。量子引力,又称量子重力,是描述对重力场进行量子化的理论;主要尝试结合广义相对论与量子力学,为当前的物理学尚未解决的问题。它想要把广义相对论量子化,进而统一包括引力在内的四种基本力。诺特定理则帮助科学家理解在这样一个统一的理论中可以出现怎样的对称性。

可以说,诺特定理涵盖的对称性与守恒性两大概念,是已知物理学的基础。也是指导现代物理学发展的最重要的数学定理之一,对于实现宇宙大一统、统一四大力则更缺少不了诺特定理,诺贝尔物理学奖得主弗兰克·维尔切克说:“诺特定理一直是20世纪和21世纪物理学的指路明灯。”

而诺特定理除了应用于数学领域,是奇异积分方程的基本定理。它并不限于柯西型核的奇异积分方程。

爱因斯坦曾说:“艾米·诺特是数学界的雅典娜,如果没有她,现代数学和它的教学将会是完全不同的。。。所得到的成果是这一代传给下一代最珍贵的贡献”。

诺特定理是诺特献给数学界、物理界最伟大的财富,它不会被时间所湮没,相反,随着时间的不断流逝,它的作用与意义将会愈加凸显,更加熠熠生辉。

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