极简微积分——开启莱布尼茨的积分之路

想想一下下面这个式子：

(1)

这个是我们已经认识的导数表示形式，它标识F(x)的导数等于2x。那么能想象一下F(x)等于多少吗？

逆微分运算

这并不会难倒我们：

(2)

没错这很简单，而且再仔细思考我们还会发现在(2)式右面加个常数似乎也并不会改变它对应导数的值：

然后我们更进一步把那些看似随意的常数改写为：

（3）

c是个任意的值,(3)的导数同样是等于2x的，因为常数的导数为0。这样我们便总结出了下面一个定理：

如果F(x)和G(x)在同一个区间上具有相同的导数，那么F(x)和G(x)便会相差一个常数，也就是说存在一个常数c使得任意x在这个区间上具有如下性质：

(4)

那么怎么证明这个说法是正确的呢？我们可以从导数的运算法则去考虑这个问题：

也就是说G(x)-F(x)应该是一个常数，以此来满足导数为0的结果。因此可验证这个定理的正确性。

不定积分有多少

由上面所叙述的情况，我们可以知道，如果F(x)和f(x)给定，并且：

（5）

那么我们说F(x)是f(x)的一个不定积分，并且这个找出不定积分的过程叫做积分运算，而且我们也意识到f(x)的不定积分应该有无穷多个，他们之间相差一个常数，我们可以统统表示为：

第一个不定积分

在历史上，莱布尼茨把(5)中f(x)的不定积分表示为：

它读作f(x)dx的不定积分，这是不定积分的标准表达式，而且我们注意到f(x)dx是F(x)的微分形式的一部分，我们在后面将会认识到微分表示形式将会给积分计算带来无以言表的便利。

既然知道积分和导数是相互反向的运算，我们可以在没有积分计算法则的条件下尝试一下幂函数不定积分公式的推导：

这样最后这个公式就符合我们追求完美的变态态度了，给定一个幂函数，我们就可以找出它对应的所有不定积分。

我们是模拟莱布尼茨当时研究微积分时的角度去对知识做尝试性的探索和发现的，这样比较符合人类认识和理解事物的特征，留下的印象也会比较深刻，一旦将来有所遗忘，也能顺着这个思路自己把知识推导出来。