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图片来源：Pixabay 来源 Quanta magazine 原作 Kevin Hartnett 翻译 张元一 审校/编辑 沛米 在一根电线里，电子以复杂的方式彼此碰撞弹回，人们根本无法知道它们确切行动轨迹。 但在过去的五十年里，数学家和物理学家开始逐渐明白这种奇怪的运动其实符合优雅的统计模式。在导体中电子以一种统计形状运动，在绝缘体中则以另一种统计形状运动。 这至少提供了一种预感。在过去的半个世纪里，数学家一直在寻找可以证明它的数学模型。他们试图证明完美的统计模式确实存在。 在这篇去年夏天在线发布的论文中，三位数学家联手作出目前最为靠近结果的解答。在这篇论文中，纽约大学的 Paul Bourgade，哈佛大学的 Horng-Tzer Yau 和加州大学洛杉矶分校的 Jun Yin，证明存在一种“普适性（universality）”的数学特性能够验证材料的导电性。 Paul Bourgade，纽约大学数学家。图片来源：Saskia Kahn | quantamagazine.org “在我看来，他们的研究成果是数学上的突破，首先你需要有导电性，然后你才会有普适性”，新泽西州普林斯顿市高级研究所的数学家 Tom Spencer 如是说。 图片来源：Bourgade, Yau & Yin 该论文为 20 世纪 60 年代著名物理学家威格纳（Eugene Wigner）提出的量子物理学宏观愿景提供了最新证据。威格纳明白，量子的相互作用太复杂而无法准确描述，但他希望这些相互作用的本质可以在广义的统计中找到。 这个新研究表明，从某种意义上甚至威格纳都会感到吃惊，他的愿景竟然成真了。 即使看似孤立且无关的事件也会符合可预测的统计模式。举例来说，谋杀行为。每种罪行源于独特的环境和情感的结合，导致一个人杀死另一个人。然而，有人注意到在城市炎热的夏季，谋杀的预测准确度更高。 独立事件可以遵循许多不同类型的统计模式。其中最著名的统计模式是正态分布，它采用钟形曲线来描述各种不相关事件的统计分布（比如某一人群的身高或 SAT 的分数）。Zipf 定律则描述了数据集中最大数字的相对大小。Benford 定律描述了数据集中数字中第一位数字的分布。 在 20 世纪 50 年代，威格纳面临一个问题，他需要一个新的统计模式来解决。在参与曼哈顿计划十多年后，他想模拟铀核内数百个粒子之间的相互作用。但这个问题太过复杂，无法直接解决。 “大的原子核是一个复杂的事物；我们不知道如何从最初的定理来理解它。” Spencer 说。 所以威格纳就简化了问题，他忽略单个粒子的相互作用，毕竟它们太难以描述了，而着重于整体系统的平均统计性质上，这样更易于处理。 威格纳使用数字网格来指定粒子如何相互作用，该网格被称为矩阵（matrix）。这就像薛定谔方程的技术附录一样，是用于描述亚原子粒子行为的方程式。通过准确指定矩阵中的数字，就可以准确指定交互作用。 但是这一点威格纳无法做到，所以他采用随机数填充矩阵。他希望这种简化能使他继续进行计算，同时仍能最终产生有用的铀核描述。 结果他真的做到了。威格纳发现他可以从这个“随机”矩阵中提取出一个模式。该模式涉及到名为特征值的第二层数字，就像矩阵的 DNA。令人费解的是，这个随机矩阵的特征值是彼此相关的。在数轴上，特征值似乎表现出一定程度的规则间距 —— 从不聚集在一起，也不会分开太远。它们几乎就像是磁铁一样，互相推挤到均匀的间距。由此产生的分布通常被称为威格纳-戴森-梅塔分布（Wigner-Dyson-Mehta distribution，由三位发现该分布的物理学家而得名）。它描述的现象称为普适性。 为了理解普适性，我们以人的身高为例。在现实生活中，如果你开始从时代广场的人群中一次挑选两个人，那么你有可能找到一对身高几乎相同的人。但如果某一人群的高度遵循威格纳-戴森-梅塔分布，那么你完全无法指望两个随机选择的人具有相似的身高。因此身高的关联方式是这样的：第一个人的身高总是与第二个人的身高不同。 普适性描述了许多不同类型的事物：雪崩的频率和大小，分散运输系统中公共汽车的运行时间，甚至鸡视网膜中的细胞间距。它通常涉及复杂的相关系统。 威格纳在铀核建模方面的经验指引他做出这样的假设，即随机矩阵应该能够描述任何粒子彼此相关（意味着所有粒子都会影响其他粒子）的量子系统。“威格纳的伟大愿景就是，他相信你可以采用任何量子系统，如果它是高度相关的，那么它的‘特征值分布’将类似于随机矩阵，” Yau 这么说。 *后来研究人员表达了此模式的另一面：他们推测，当物理系统中的粒子以不相关的方式运动时，就像在绝缘体中一样，特征值应该落入与正态分布相关的“泊松”分布中。 泊松分布。图片来源：umass.edu 材料之所以能导电，正是因为它们的电子以有序相关的方式相互作用，即步伐一致地携带电流运动。因此威格纳的猜想表明了，如果量子系统的特征值表现出普适性，就可以证明系统内的粒子在以相关的方式相互作用，从而证明系统是导体。 数学家和物理学家随即开始补充论证威格纳的愿景，但数学家需要花费半个世纪来证明现实设定下导体的统计性质。 数学家创建物理系统模型的时候，他们希望这些模型尽可能地真实。从某种意义上来说，威格纳铀核模型并不是一个非常现实的导体模型：它假设了每个粒子与其他粒子的相互作用是等可能的。该模型没有考虑到靠近在一起的粒子比远距离的粒子更容易相互作用这样一个事实。“因为他系统中的粒子都被严格限制在原子核的小区域中，所以每个粒子都与其他粒子交互，威格纳并没有考虑到任何空间结构，” Spencer 说。 不考虑粒子之间距离的物理模型被称为“平均场（mean field）”模型。它们更容易上手，但与物质世界的联系也更加紧密。 “这里没有几何结构方面的考虑；我们进行了大规模的简化，媒介中的所有原子都以同样的方式与其他每个粒子互动，” Bourgade 说。 绝缘体（上）和导体（下）的普适性模式。图片来源：quantamagazine.org |
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