28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数第1课时正弦函数学习目标1.理解并掌握锐角正弦的定义．2.在直角三角形中求锐角
的正弦值．(重点)情境引入金紫山上有个道观，与顶峰的海拔差约为100米，除了迂回的登顶小路之外，还有一条70度左右的碎石坡可以
登顶，是户外运动者青睐之地.其中，金紫山海拔约1400米，雾景乃金紫山一绝.清晨、傍晚或雨后时分常见屡屡轻雾自山谷升起，气流在山峦
间穿行，犹如人间仙境.情境引入为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进
行喷灌.先测得斜坡的坡脚（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管？互动探究问题同学们，从上述情境中
，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ABC30°35m?如图，在Rt△ABC中，∠C=90
°，∠A=30°，BC=35m,求AB.一.已知直角三角形的边长求正弦值ABC30°35m如图，在Rt△ABC中
，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB.在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半所以AB=2BC=70m.
如果出水的高度为50m,那么需要准备多长的水管？在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角
的对边与斜边的比都等于.归纳如果∠A=45°，那么BC与AB的比是一个定值吗？因为∠A=45°，则AC=BC，由勾
股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2.所以因此在直角三角形中，如果一个锐角等于4
5°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.归纳当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜
边的比是否也是一个固定值呢？任意画Rt△ABC和Rt△A''B''C''，使得∠C＝∠C''＝90°，∠A＝∠A''＝α，那么
与有什么关系．能解释一下吗？ABCA''B''C''因为∠C＝∠C''＝90°，∠A＝∠A''＝α，所以Rt
△ABC∽Rt△A''B''C''.所以这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边
的比也是一个固定值．知识要点如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦（sine），
记作sinA即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边在图中∠A的对
边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c∠A的对边斜边典例精析例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA
和sinB的值.AABBCC43135图(1)图(2)解析：求sinA和sinB的值，实质就是求∠A
与∠B的对边与斜边的比.？？先利用勾股定理求未知的斜边与直角边的长.解：如图(1),在Rt△ABC中，由勾股定理得因此
如图(2),在Rt△ABC中，由勾股定理得因此例2如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方
向所夹锐角的正弦值.解如图，设点A（3，0），连接PA.A在△APO中，由勾股定理得因此结
合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.归纳典例精析例3
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.ABC解析
：已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长.然后再利用勾股定理，求出BC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的
面积.二.已知锐角的正弦值求直角三角形的边长解：∵∴∴AB=3BC=3×3=9.∴
∴∴∴归纳总结在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，则BC=ckAC=ch在Rt△A
BC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，则AB=AC=1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
，BC=6，则AB的长为()A.4B.6C.8
D.10D2.在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=___.2练一练例4
在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长．解：设BC=7x,则AB=25x，在R
t△ABC中，由勾股定理得即24x=24cm,解得x=1cm.故BC=7x=7cm,AB=25x=25cm.所以△ABC的周
长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).结已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和
勾股定理，解决问题.归纳当堂练习1.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大二倍，则锐角A的正弦值（)A.扩大2倍
B.不变C.缩小2倍D.无法确定B2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则
sinA=_____,sinB=_____,sinC=____.3.如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，
BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=___________.解析：连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C
（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OCD即可．4.如图，在正
方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x.ABCDME∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，课堂小结正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用∠A的对边斜边已知边长求正弦值已知正弦值求边长 |
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