在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等，而这些问题一般都要通
过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到．
有关设计的原理就是来源于太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．方法总结5.如图某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB
，已知观测点C到旗杆的距离（即CE的长）为8米，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°旗杆底部的俯角∠ECB为45°则旗杆AB的高度是
多少米?CABDE解：如图在Rt△ACE和Rt△BCE中∠ACE=30°，EC=8米∴tan∠ACE=
,tan∠ECB=即：AE=8tan30°=（米）EB=8tan45°=8（米）∴AE+EB=(8+
)米针对训练锐角三角函数特殊角的三角函数解直角三角形简单实际问题cabABC正弦：
锐角三角函数余弦：正切：30°，45°，60°角的三角函数值三边关系三角关系边角关系仰俯角问题方位角问题
坡度问题课堂小结小结与复习(2)∠A的余弦：cosA＝＝；(3)∠A的正切：tanA＝
＝.要点梳理一、锐角三角函数如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，
∠C的对边．二、特殊角的三角函数130°，45°，60°角的三角函数值sin30°＝，sin45°＝，si
n60°＝；cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；tan30°＝，tan45°＝
，tan60°＝.合作探究1.解直角三角形的依据(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B,∠
C的对边．三边关系：；三角关系：
；边角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝
，tanB＝.a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B三、解直角三角形(2)直角三角形可解的条件和解法条
件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出
另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边
，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．(3)互余两角的三角函数间的关系1.利用计算
器求三角函数值．第二步：输入角度值，屏幕显示结果.（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）第一步：按计算器
、、键，sintancos四、借助计算器求锐角三角函数值及锐角2.利用计算器
求锐角的度数．还可以利用键，进一步得到角的度数.第二步：然后输入
函数值屏幕显示答案（按实际需要进行精确）第一种方法：°＇″2ndF第一步：按计算器
、、键，2ndFsincostan第一步：按计算器
键，°＇″2ndF第二种方法：第二步：输入锐角函数值屏幕显示答案（按实际需要选
取精确值）.1.仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往
下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.五、三角函数的应用以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫
做方位角.如图所示：30°45°BOA东西北南2.方位角45°45°西南O东北东西北南西北
东南坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝=tanα显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.如图:坡面的铅垂高
度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i,即i=3.坡度,坡角坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.4.利用解
直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据
条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．ACMN(1)
在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；E(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；(3)量出测倾器的高度AC
=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=l·tanα+aα1.测量底部可以到达的物体的高度步骤：六、利用三角函数测高
2.测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？(1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；ACBDMNE
α(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；β(3)量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点
A,B之间的距离AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度.考点一求三角函数的值例1在△ABC中，∠C＝90°，s
inA＝，则tanB＝()A.B.C.D.
【解析】根据sinA＝，可设三角形的两边长分别为4k,5k，则第三边长为3k，所以tanB＝B
求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求
值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三
角形求值．方法总结1.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB，那么△ABC一定是________三角形．
直角2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是_________.针对训练【解析
】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值．解：原式＝例2计算：考点二特殊角的三角函数值(1)tan
30°＋cos45°＋tan60°(2)tan30°·tan60°＋cos230°3.计算：解：原式原式针对训练
例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=，求：（1）DC的长；（2）
sinB的值．【分析】题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝
BC－BD，由此可列方程求出CD．ABCD考点三解直角三角形又BC－CD＝BD，解得x=6，∴CD=6；A
BCD解：（1）设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC=,(2)BC=BD+CD=4+6=10=AD
，在Rt△ACD中，在Rt△ABC中本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思
想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.方法总结4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.点D为BC边上一点，且
BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长(结果保留根号).针对训练解：在Rt△ADC中，∴BD＝2AD＝4.∴BC
＝BD＋DC＝5.在Rt△ABC中，∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC例4如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB
的高度．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼AB的高度．【分析】设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，用AG表示出FG，在Rt△ACG中，用AG表示出CG，然后根据CG－FG＝40，可求AG.考点四三角函数的应用答：这幢教学楼AB的高度为解：设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，在Rt△ACG中，又∵CG－FG＝40m， |
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