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SAUSAGE软件采用中心差分显式积分方法，这是一种条件稳定算法，因此在求解具体问题时，时间步长必须小于某个临界值，即最大稳定步长∆tcr。 那么，这个临界值是怎么求解的？ 我们能不能快速得到结构的临界步长呢？ 今天就讨论一下这个问题。 1 临界步长 对于临界步长的推导过程，这里参考王勖成老师编写的《有限单元法》13.5节的内容。 2 最小周期（最大频率）怎么计算（估算） 对于Tn的求法，一般可以通过求解特征值问题直接得到准确的结果。当然，也可以通过求解最小尺寸单元的最小周期近似得出。因为理论可以证明，结构的最小周期总是大于或等于结构中最小尺寸单元的最小周期。可见，通过最小尺寸单元的最小周期估算结构的最小周期相对保守。对于最小尺寸单元的最小周期，可以通过直接求解单元的特征方程得出。不过，最为常用的方法是通过计算一个弹性应力波穿过一个单元需要花费多长时间。这一时间的计算方法为单元特征长度/材料中声波速度，即 这种方法简单方便，可以用于快速了解结构的稳定步长。至于为什么弹性应力波穿过一个单元花费的时间跟算法的稳定性相关可以这么理解：采用有限单元离散后的模型，每一个基本构成就是独立的单元。在计算有关波动问题的动力学方程时，如地震动的传播，结构的边界开始扰动或振动时，需要通过节点经过一个个单元进行传递到另一个附近的节点，如果要确保每个时间步上都能连续传递，则不能跨过单元进行传递。因此，需要的时间步长应该小于一定的数值，这个数值就是单元的最小尺寸除以应力波在单元内的传播速度。 3 显式分析软件SAUSAGE、ABAQUS和LS-DYNA 在SAUSAGE软件中，中心差分方法采用等时间步长计算方式。稳定步长通过最大频率分析一次性求解。程序会根据模型自动迭代求解出最大频率，根据最大频率给出临界步长 其中：α为折减系数，默认取0.9。 由于结构的最大频率是直接由整体求出的，所以求出的最大频率（最小周期）一般会小于等于（大于等于）最小尺寸单元的最大频率（最小周期）。因此，SAUSAGE中显式分析的临界步长比按最小尺寸单元估算方法得出来的步长会大一些，计算的效率相对高些。 在ABAQUS软件和LS-DYNA软件中，均采用变步长计算方式，软件自动根据最小尺寸单元调整时间步长，其时间步长计算方法如下式： 从ABAQUS和LS-DYNA软件的变步长计算公式可以看出，由于结构在发展弹塑性的过程中，切线弹性模量一般会减小，泊松比一般会增大，所以计算步长往往随着弹塑性的发展而有所增大，这会一定程度上提高计算效率。而SAUSAGE软件由于采用了CPU+GPU异构并行计算技术，计算效率可以显著提高，采用等步长计算方案虽然计算时间会有一定的增加，但是可以有效避免计算不稳定的潜在风险。
4 SAUSAGE的快速非线性算法 SAUSAGE软件提供了快速非线性算法，主要用于结构方案的快速评估及减隔震弹性设计等方面。快速非线性算法是基于振型叠加的显式分析方法，因此为确保计算的稳定性也需要给定时间步长小于临界步长。与中心差分方法不同的是，这里的临界步长由参与振型叠加的最小周期TN确定，而不是由整个结构的最小周期确定，这也是快速非线性算法可以显著提高计算效率的根本原因。
一般在使用快速非线性算法时，程序默认给的时间步长是0.02秒。这是因为一般结构模型做显式动力学模态分析只取10阶就可以满足要求。而通常结构的第10周期都会大于0.1秒，即T10>0.1>0.02*3.14=0.0628。所以一般情况下采用默认0.02秒即可满足要求。 但是，在隔震设计中考虑隔震支座的振型或做大跨空间结构非线性分析时，往往需要考虑的振型数不止10阶。因此，这些结构形式如果采用快速非线性算法时，计算时间步长就需要按照公式（14）进行调整。最新的2019版SAUSAGE软件快速非线性算法的时间步长已经按照求解的最小周期进行调整，用户可以采用软件默认计算值计算即可。 还需要特别说明的是，快速非线性算法（显式或隐式）是一种非线性分析的简化算法，其优点是在“弱”非线性情况下可以快速得到结构的工程满意解。但如果建筑结构中发生了比较强烈和普遍的非线性性质，则仍需采用中心差分格式的显式积分方法或严格的隐式积分算法进行计算，若此时仍然采用快速非线性算法则将产生较大的和难以容忍的计算偏差。
5 结语 本文通过SAUSAGE、ABAQUS、LS-DYNA等软件，介绍了显式积分的中心差分格式和快速非线性算法的计算步长确定方法，希望大家在使用这些软件时能正确理解相关概念和不犯错误，从而更好的进行结构显式分析。
参考文献 1 王勖成 《有限单元法》; 2 SAUSAGE用户手册; 3 Abaqus Analysis User's Guide; 4 LS-DYNA Keyword User's Manual Volume I.
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