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初中数学基础知识点 第二章 实数

 当以读书通世事 2019-07-03

初中数学基础知识点 第二章 实数

第二章 实数

2.1平方根的有关概念

考点一:算术平方根

一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(有些同学容易弄混,所以直接可以理解为,一个非负数开平方出来,其中的正数就是算术平方根,例:+-√36=+-6,其中6就是算术平方根,+-6整体就是平方根)

注意:1. 0的算术平方根是0 ①当a≧0时,a

2.√a≧0(a≧0);(√a)2=a(a≧0);√a2=|a|= ②当a<0时,-a(紫色是一起的,分为两种情况)

考点二:平方根

1. 概念:若果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a,那么x叫做a的平方根,记作+-√a(a≧0)(有些同学容易弄混,所以直接可以理解为,一个非负数开平方出来,其中的正数就是算术平方根,例:+-√36=+-6,其中6就是算术平方根,+-6整体就是平方根)

2. 平方根的性质:一、正数有两个平方根,它们互为相反数

二、0的平方根是0

三、负数没有平方根

注意:一、根号下面的整体必须大于等于0(例子:√x-3(根号下x-3)中隐含着x-3≧0,)

考点三:开平方

求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。

2.2立方根的有关概念

考点一:立方根

1. 概念:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或者三次方根。即如果x3=a,那么x叫做a的立方根,记作3 √a,读作“三次根号a”

2. 立方根的性质:①正数只有一个正立方根

②负数只有一个负立方根

③0的立方根是0

注意:一、任何数都有立方根,而且只有一个立方根

二、若a=b,则3 √a=3 √b;若3 √a=3 √b,则a=b

三、立方根等于本身的数有0、1、-1

四、3 √-a=-3 √a 、 3 √a3=a 、 (3 √a)3=a

开立方的概念:求一个数a的立方根的运算叫做开立方;例:8的立方根为3 √8=2

考点二:方根中小数点的移动规律

一、在开平方的运算中,被开方数的小数点,向左(右)移动两位时,其平方根的小数点相应地向左(右)移动一位;

二、在开立方的运算中,被开方数的小数点,向左(右)移动三位时,其立方根的小数点相应的向左(右)移动一位

例:1.开立方时:3 √216=6 则3 √0.216=0.3 则3 √216000=60

2.开平方时:√36=6 则√0.36=0.6 则√3600=60

2.3实数

考点一:实数及其分类

1. 概念:有理数和无理数统称为实数

2. 分类:

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考点二:实数的性质

1. 实数的相反数、倒数、绝对值、与数轴的关系、运算、运算顺序都跟前面的一样,在此不多做补充

2. 无理数小数部分的确定:

确定一个非完全平方的算术平方根的小数部分的方法:一、把这个无理数夹在相邻的两个整数之间;二、则较小的整数就是这个数的整数部分,再用无理数减去整数部分就得到它的小数部分

例:已知a,b分别是6-√13的整数部分和小数部分,则2a-b=√13

解析:因为9<13<16,所以√9<√13<√16,所以3<√13<4,所以6-4<6-√13<6-3,所以6-√13的整数部分是a=2,用6-√13减去它的整数部分2,剩下的就是小数部分;所以小数部分b=6-√13-2=4-√13,所以2a-b=√13

3.非负数概念:在实数范围内,正数和零统称为非负数。

4.非负数性质:①若两个非负数的和为0,那么这两个数一定都为0

②非负数有最小值,最小值为0

③有限个非负数之和依然为非负数

注意:1.判断一实数的属性(如有理数、无理数)应遵循:一化简,二辨析,三判

2.初中常见的无理数有三种类型:①含根号且开放开不尽的数,但切不可以认为带根号的数都是无理数

②化简后含π

③无限不循环小数,如:0.3030030003......

2.4二次根式

考点一:二次根式的有关概念和性质

1. 二次根式概念:形如√a(a≧0)的式子叫做二次根式,其中“√”叫做二次根号,二次根号下面的数叫做被开方数(注意:二次根式定义中,a≧0是定义的一个组成部分,不能省略,这样说吗,二次根号下面的必须为非负数)

2. 使二次根式有意义的条件:二次根号下面的必须为非负数

考点二:最简二次根式

1. 最简二次根式的满足条件:①被开方数不含分母 ;②被开方数中不含开得尽方的因数或因式

2. 化成最简二次根式的一般方法:①将被开方数中能开的尽方的因数或因式进行开方 ②化去根号下面的分母(1.如果有带分数就化成假分数;2.若果有小数就化成分数;3.若果是多项式就先因式分解)

考点三:二次根式的性质(注意下面4和5 的)

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2.5二次根式的运算

考点一:二次根式的乘法(考虑根号下面的正负性)

一般地,二次根式的乘法法则是,√a*√b=√ab(a≧0,b≧0)反过来就是√ab=√a*√b利用它可以进行二次根式的化简

考点二:二次根式的乘法(考虑根号下面的正负性)

一般地,二次根式的乘法则是√a/√b=√a/b(a≧0,b>0),反过来就是√a/b=√a/√b(a≧0,b>0),利用它进行二次根式的化简。

考点三:二次根式的加减法

一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。例子:2√6+5√6=7√6

考点四:二次根式的混合运算

一、二次根式的混合运算跟实数的运算顺序一样,先乘方、后乘除、再加减,有括号的先算括号里面的

二、在运算过程中,乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算任然适用

注意:1.被开方数不同的二次根式不能合并。

2.根号外面的系数因数必须是假分数的形式。

3.运算结果是根式的,应表示为最简二次根式。

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