一位高中数学教师眼中“数的发展史”（二）

勾股定理之所以被西方称为“毕达哥拉斯定理”，是因为毕达哥拉斯学派第一个证明了它的普遍正确性。即使我们应用它的历史记录早了1000年，我们可能并不能确定它对任何的直角三角形都成立，而只能确定它对我们所测试的三角形成立。

但是毕达哥拉斯怎样知道这个定理对于每个直角三角形都是成立的呢？他不可能期望测试所有的不同的直角三角形（不完全归纳），然而他仍然百分百的确信这个定理绝对正确。让他如此笃定的原因就是——数学证明这个概念。寻找一个证明就是寻找一种认识，这种认识比任何别的训练所积累的认识都更不容置疑。

这种证明不但可以获得亲人和朋友的掌声，就是你的敌人也只能俯首称臣、毫无辩驳。

2500年来，驱使着数学家甘心的赔上生命的正是这种以证明的方法发现最终真理的欲望。

1、 证明的绝对性

经典的数学证明办法是从一系列公理、陈述出发，这些陈述有些可以是假定为真的，有些则是显然为真的；然后通过逻辑论证，一步接一步，最后就可能得到某个结论。公理是正确的，逻辑也无缺陷，那么得到的结论将是不可不否定的。这个结论就是一个定理。

数学证明是依靠逻辑过程，而且一经证明就永远是对的，这就是数学证明的绝对性。

为什么数学证明必须是绝对正确的呢？

如果一个定理不被完全证明就当作是正确的，那么它就会被用于另外一系列别的较大的证明中不可或缺的要素。然后这些较大的证明又被用另外一些证明，如此以往，可能有成百上千个定理要依赖于这个最初的未经核查的定理的正确性。万一在某个时候发现这个最初被依赖的定理是错的，那庞大的数学领域将会崩溃。

数学证明是不能靠举例完成的，举例法唯一能用的场合就是反证法，即证伪。证明是使用再多的例子都没有用。而这一点在我们的教育中是如此地荒谬。我们在上学时，写文章经常被要求举例，这些都是逻辑上严重的漏洞，我们却一代一代的传承下来了（这也是不同学科的特点决定的，这里只是借此说明数学的逻辑性，别无他意）。

定理是数学的基础，因为一旦它们的正确性被证明，就可以放心地在它们上面建立别的定理。任何依赖猜想而进行的逻辑推理，其本身也是一个猜想。

毕达哥拉斯说“万物皆数”，这个结论他没有给出完美的证明，也就是说这只能是个猜想。但可惜的是，他猜错了。据说，他的一个叫希伯索斯的学生问他，一个直角边长均为1的直角三角形的斜边长是多少？希帕索斯不知道经过怎样的计算，发现这个数并不能用分数来表示，也就是说毕达哥拉斯前面刚提出来的“万物皆数”被无数人认为是真理的理论竟然是错误的，大厦将倾？希伯索斯的问题直击毕达哥拉斯的心脏，为了自己的名誉与地位，狠心的毕达哥拉斯和他的门徒把希伯索斯丢进了大海。

2、 无理数

所有的可以写成分数形式P/Q（Q≠0，P、Q是既约分数）的数都是有理数，无理数就是不能写成分数形式的数。为什么√2不是有理数呢？它为什么不能表述成上述形式呢？

2.1√2是无理数

√2是无理数的证明方法有很多，下面给出简单又实用的三种证法。

2.1.1（反证法）

假设√2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q（互质公约数只有1的两个整数）,使得:

√2=p/q

于是p=(√2)q

两边平方得

p^2=2q^2(“^”是几次方的意思）

由2q^2是偶数,可得p^2是偶数.而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.

因此可设p=2s,代入上式,得：

4s^2=2q^2,

即

q^2=2s^2.

所以q也是偶数.这样,p,q都是偶数,不互质,这与假设p,q互质矛盾.

这个矛盾说明, √2不能写成分数的形式,即√2不是有理数.

实际上这个证明的方法还可以有如下不同的解读，

手工开根号2

2.2.2唯一分解法

假设(p/q)^2=2，那么p^2=2q^2。我们将要证明，一个数的平方等于另一个数的平方的两倍是根本不可能的。如果对一个平方数分解质因数，它必然有偶数个因子（x^2的所有质因子就是把x的质因子复制成两份）。于是，p^2有偶数个质因子，q^2有偶数个质因子，2q^2有奇数个质因子。等号左边的数有偶数个质因子，等号右边的数有奇数个质因子，大家都知道这是不可能的，因为同一个数只有一种分解质因数的方法（唯一分解定理）。

2.2.3无限下推法（辗转相除法或无限递降法）

由2.2.1可知，q也是偶数，设q=2t,

故而有√2= p/q=2s/2t=s/t,现在得到一个分数s/t，它比p/q简单。

然而，我们发现对s/t可以精确的重复以上的同一个过程，如此一次次重复下去，永远不会结束。但是任何分数都不可能永远简化下去，总有一个最简单的分数存在，而我们最初假设的不符合这个法则，故而，假设不成立。所以，√2是一个无理数。

这个过程可由如下图解法进行解释:

现在看怎么解释，在图中的BC和BD之间进行辗转相除为什么永远不能停止。把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去。最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。于是，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q，这就成为了那个x）。

还有一个更加简洁的证明，这个证明虽然与前面的证明有些类似，但它的简洁性让我大为折服——没有最简，只有更简，我们一直在路上。

同样是证明不存在整数p, q使得p^2=2q^2，这个证明只需要一句话。假如p、q是最小的正整数使得p^2=2q^2，看图，两个边长为q的小正方形放在一个边长为p的大正方形里，那么图中深灰色正方形的面积就等于两个白色正方形面积之和（面积守恒），于是我们就找到了具有同样性质的更小的整数p和q，如此可以无限递推下去------。

2.2第一次数学危机

希伯索斯的死并没有引起人们对无理数问题的深入分析，无理数这个逻辑推理生出的怪蛋，一直困惑和折磨着有独立意识的人们，人类认识世界的脚步慢了。第一次数学危机的阴云开始长时间的笼罩着数学这座大厦的上空。（数学史上称在“万物皆数”的信仰统治下算不出正方形对角线的长这一数学困惑为第一次数学危机）

人类认识无理数的过程，远要比想象的更加漫长和曲折。从希伯索斯起至基础理论基本完备止，整整经历了二十多个世纪。从“无理数”三个字的含义，就足以表明人类接受这一概念的艰难程度。

数学家们经过不懈的努力，终于在19世界给出了无理数的准确定义和性质，其中的代表人物有戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831-1916，伟大的德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱，是数学家高斯的得意门生）、罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872年-1970年，英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，分析哲学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者）、康托尔（德国数学家，集合论的创始人）、威尔斯斯特拉斯（年轻时是一位体育教师，快40岁才开始搞数学，真正成名已经60岁，从他身上看出兴趣是最好的老师，只有坚持不懈的人才配有不朽的未来）等人。

由于无理数的引入，排除了第一次数学危机，或者我们应该庆幸第一次数学危机来的早，使得无理数这个危机的闯入者早早登上了数学的舞台。我们应当为希伯索斯鸣冤叫屈，佩服他的反抗意识与不屈的精神。传说中的希伯索斯身高1.41米，体重141磅，他的生理指标暗示他就是√2的化身，是上帝派来的天使。传说只能是传说，我们姑妄听之，但有一点是不可姑妄的，那就是科学精神绝非信仰，科学是批判的与理智的、疑问的与严谨的、创造的和求实的，科学工作中不容忍迷信、崇拜和信仰，也希望宗教徒们不要总拉科学的大褂襟，为其布道保驾护航。

当代生命科学中的政治纠缠:黄禹锡被打压

历史的教训在于给人类以教益。科学完全走出政治强权的阴影，完全走出李森科之流的阴影，这在今天仍然是人类的一项艰巨的任务。控制论的创立者诺伯特·维纳说：“科学是一种生活方式，它只在人们具有信仰自由的时候才能繁荣起来。基于外界的命令而被迫去遵从的信仰并不是什么信仰，基于这种假信仰而建立起来的社会必然会由于瘫痪而导致灭亡，因为在这样的社会里，科学没有健康生长的基础。”

3.实数

简单性质：

l 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

l 实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

l 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：a<b,a=b,a>b.

l 实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.

l 实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.

l 如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。

l 实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。后续会有专门论述

4、 虚数

4.1虚数出现与发展

正当人们依旧困惑于负数和无理数的时候，另一位披着神秘面纱的不速之客出现了。

12世纪的印度大数学家婆什伽罗认为方程x^2+1=0是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负数平方根的存在。

1484年，法国数学家舒开在一本书中，把方程4+x²=3x的根写成：

尽管他一再声明这根是不存在的，但毕竟第一次在形式上出现了负数的平方根。

1545，意大利数学家卡当在讨论是否可能将10分为两个部分，而使两者之积等于40时，他指出：尽管这个问题没有实数解，然而，假如把答案写成如下两个令人诧异的形式，就能满足题目的要求。他验证说（利用的工具是韦达定理）：

1637年法国数学家笛卡尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”（ 本意就是指它是虚假的）的名称，并和“实数”相对应。

又大约过了140年，大数学家欧拉开始使用i（imaginary虚幻）表示√-1。欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”

1801年，高斯系统地使用了符号i，并把它与实数混成物a+bi(a,b为实数)称为复数。此后i与复数便渐渐通行于世界。

大胆揭示虚数神秘面纱的，是挪威的测量学家魏塞尔，他找到了复数的几何表示法。

4.2虚数的解释与表示

4.2.1什么是虚数？

首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此，我们可以得到下面的关系式：

(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去，这个式子就变为：

(逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将'逆时针旋转90度'记为 i ：

i^2 = (-1)

这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。

所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。

4.2.2复数的定义

既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。

道路是曲折的，前途是光明的。在我们振臂高呼的时候不要忘了那些为科学默默奋斗的科学家，为他们点个赞吧。

5.复数

形如z=a+bi的数称为复数（complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i×i=－1（a，b是任意实数）

我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部（real part)记作Rez=a

实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作 Imz=b.

已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；

当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣.

即对于复数z=a+bi，它的模

∣z∣=√（a²+b²)

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。

复数集是无序集，不能建立大小顺序。

至此数的发展史已全部写完，其中有详有略，感谢喜欢的朋友，因为个人能力有限如有不当之处欢迎批评指正。其中包含的丰富的人生哲理这里不再赘述，只想说科学的发展道路注定是坎坷的、艰辛的，甚至是残酷的、血腥的。愿我们能温柔以待那些和我们肤色不同的人、思想不同的人、习俗不同的人，少一点侮辱、少一点残忍、少一点争斗，毕竟科学发展的终极目的就是让我们有权利成为自己，并且会被宽容的对待。

注：下次更新关于“运算”的思考，欢迎朋友们关注与讨论。