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有一首歌想必很多人都听过： “苦海翻起爱恨，在世间难逃避命运......” 人世间确实有很多命运难以逃避，比如生老病死，比如悲欢离合。但是除了这些必然的共同命运，人和人之间还有很多不同，甚至是巨大的不同 —— 有的人富可敌国，有的人穷困潦倒，有的人意气风发，有的人郁郁不得志...... 为什么会有这样的差别？ 很多人将命运归结到运气上 —— “力拔山兮气盖世，时不利兮骓不逝”，“时来天地皆同力，运去英雄不自由”...... 查理君并不想完全否定运气，但更想说的是，相对于寄希望于运气，你还有更好的选择 —— 相信理性。 而今天的主题“概率”，就是一门运用理性的数学思维来理解和把握不确定性的学问。 ----- 一条概率为1的分隔符 ----- ◇ 你要换掉手里的牌吗？ 在正式开始讨论概率之前，我们先来玩一个扑克小游戏。这个游戏是查理君受到一部电影的启发而设计的，简单好玩，规则如下： 查理君手里有3张扑克牌，分别是A、K、K。你任意抽一张牌，如果抽中A就给你1块钱，抽中K就什么也没有。 是不是很简单？在这个游戏里，你没有任何风险，只管赢钱就好了。 即便你不太懂概率知识，你也能明白，你每次抽中A的可能性是1/3。如果玩99把的话，你能从查理君这里赢走大概33块钱。 但是如果我们把游戏规则稍微变化一下，或许就没那么容易想明白了： 基本规则保持不变 —— 仍然是你抽中A就给你1块钱 —— 但是加了一个小插曲： 当你抽出一张牌之后(先不要看是什么)，查理君看了一下剩下的两张牌，从中拿出一张K亮出来，也就是说每次你抽完牌之后，我都会亮出剩下牌里的一张K。 这个时候问你： 你要换掉手里的牌吗？ (或者换个问法：当一张K被亮出来后，你觉得换一下手中的牌更好，还是坚持最初的选择更好？) …… 各位先琢磨一下，我们稍后再回到这个小游戏。 言归正传，让我们先从为什么要学习概率说起。 ◇ 为什么要学习概率 为什么要学习概率？往简单处讲，概率很有用；往复杂里讲，概率关系到世界的本质。 也许有人会说，我不懂概率，不也过的很好吗？对此查理君的回答是，就像任何知识和经验一样，没有它们你也能生活，但是如果你掌握它们，你会过得更好一点，这一点对概率来讲更是如此。 我们不妨听听大神查理·芒格是怎么看待概率的： “费马-帕斯卡的系统与世界运转的方式惊人地一致。它是基本公理。所以你真的必须得拥有这种技巧。” “这么多年来，我一直跟巴菲特同事；他拥有很多优势，其中之一就是他能够自动地根据决策树理论和基本的排列组合原理来思考问题。” 以上两段话摘自查理·芒格的《论基本的、普世的智慧，及其与投资管理和商业的关系》演讲。 从中我们可以看到，芒格不但教导我们要好好学习概率，还透露给我们一个巴菲特的思考秘诀 —— 使用决策树和排列组合。决策树理论中也会用到概率知识，以后有机会我们再谈，排列组合就是我们今天要谈的概率论的基础之一。 芒格所说的“费马-帕斯卡的系统”指的就是概率理论，严格的说是古典概率理论。 他关于世界运转的观点也一点不夸张。 对于世界运转的方式向来有两种认识，一种称之为“决定论”，一种称之为“非决定论”。 决定论的两个代表是拉普拉斯和爱因斯坦。 拉普拉斯是一位对概率论作出重要贡献的数学家，他写的《分析概率论》开创了概率论的新阶段，拉普拉斯说过这样一段话： “我们应当把宇宙目前的状态看做是它先前状态的结果，并且是它以后状态的原因。暂时设想有一位神灵，它能够知道施于自然界的所有作用力以及自然界所有组成物的各自位置，它并且能够十分广泛地分析这些数据，那么，它就可以把宇宙中最重物体和最轻原子的运动，均纳入统一公式。对于它，再没有什么事物是不确定的，未来和过去一样，均呈现在它的面前”。 (拉普拉斯的名言：“The future, just like the past would be present before its eyes.”) 如果世界真的像拉普拉斯那样说的，我们在世间可能就真的难逃避命运了，因为整个世界都已经被“决定”了。 然而等到普朗克、爱因斯坦和波尔等人一起开创量子力学之后，“非决定论”派开始逐渐占领上风。爱因斯坦虽然曾说过：“上帝不掷骰子”，但是今天的人们，更加相信认为随机性是一种本质。比如，霍金就曾经这样说过：“爱因斯坦犯了双重错误，量子力学显示，上帝不仅掷骰子，他有时候还会把骰子掷到我们看不到的地方去。” 大众对伟大科学家的关注，表明每个人都有一颗想理解世界本质的好奇心。但好奇心终归只是好奇而已，热情一过去，人们还是要回到生活中去。他们知道，不管上帝掷不掷骰子，至少麻将桌上我还是要掷骰子的。 但实际上，不仅在麻将桌上，不确定性在人们的生活中无处不在。很多时候，人生的一次次选择就是一道道概率题。聪明的人，像巴菲特那样，会运用科学巨人花了几百年时间总结的概率知识来帮助自己作出选择，而不聪明的人，如我们大多数，都会选择跟着感觉走。 但是正如芒格所言，我们确实应该掌握概率。不仅是对世界本质的好奇心，更是因为掌握概率能够让我们的选择更加准确。 理解了概率的重要性之后，下面再谈一谈人们对概率(数学)无感的问题。 ◇ 看到概率就懵逼，你不是一个人 为了写这篇文章，查理君专门去翻了翻初中数学大纲，发现其实我们早在初中时代就接受了排列组合和概率论的基本训练。但是就像其它大多数中学知识一样，大部分人一出校门就把它们还给老师了。 如果现在给你出一道初中概率应用题，你很可能会是这个表情： (让我懵一会儿......) 好吧，没事。可以肯定的说，看到概率就懵逼的不是你一个人。甚至不光是概率，对于很多人来说，尤其是文艺小清们，所有的数学公式都会让他们懵一会儿。 为什么会这样？ 查理君认为，原因可能在于我们进化的时间不够长。 《人类简史》是近几年很热门的一本书，作者尤瓦尔·赫拉利给我们描绘了一个人类祖先“智人”走出非洲，迈向全球，依次战胜其它“人种”，灭绝数不清的大型食肉物种，一步步走向食物链顶端的波澜壮阔的故事。 从这本书中我们可以知道，在人类长达300多万年的进化史中，我们的祖先的主要“工作”是如何在残酷的大自然中繁衍生息。一直到近1万年前，人类还一直在靠着采集树上的果实和到野外狩猎而生存。相比这漫长的300多万年人类史，中华文明的历史才5000年，《几何原本》的历史才2000年，而今天的主题概率论的历史才不过300多年。 这就可以理解，为什么我们的祖先留给我们的竞争优势是遇到危险跑的更快，看到甜食就想拼命吃，而不是看到微积分公式就瞬间理解其内涵。 实际上，除非你发生了基因突变而变成非正常人类，否则你对数学的感觉是没问题的，那就是正常人类的感觉。 解释完这个疑惑之后，是不是对概率的学习更加有点信心了？ 那让我们穿越回到中学时代的课堂上，再重新上一堂概率课吧。 ◇ 一节概率课 查理君喜欢读史，讲概率也不妨从历史故事开始说起。 366年前在法国有一个叫德·梅雷的人，他是一个军人、语言学家，同时也是一个水平很高的赌徒。他不但喜欢玩纸牌和骰子，还喜欢研究赌博。 他曾经设计过一个这样的掷骰子游戏： 使用1个骰子，连续掷4次，如果至少出现一次6点，就算德·梅雷赢，反之对手赢。 德·梅雷根据经验判断，这个玩法对他有利，实际上他确实也赢了不少钱。 后来他稍微改一下游戏规则： 使用2个骰子，连续掷24次，如果至少有一次得到的骰子之和是12，就算德·梅雷赢，反之对手赢。 这种玩法看起来和原来差不多，但是实际结果却不太一样，德·梅雷输得多赢得少。 诸如这类的问题困扰着德·梅雷，于是他就向当时大名鼎鼎的数学家帕斯卡写信求教。 最终德·梅雷的一个“赌本分配”的问题引起了帕斯卡的兴趣，之后帕斯卡和另外一个法国数学家费马，使用通信的方式，用了大约1年时间，解决了这个问题，顺便也把概率论的基础给搞出来了。 (费马和马斯卡) 随后的几个世纪中，虽然概率论并不受那么瞩目，但是经过一代又一代的数学家如惠更斯、伯努利、贝叶斯、拉普拉斯等人的努力下，终于建立起完善的概率论科学大厦。到今天，概率论已经成为一门重要的数学分支，被广泛运用到经济、军事、统计等的领域中。 有趣的历史课讲完了，现在我们开始上数学课 —— 不要睡觉哦：） 第一个问题是：什么是概率？ 为了让你更有初中课堂的感觉，查理君专门从初中课本上抄来一段概率的定义： “一般地，如果再一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A) = m/n。” 看懂了吗？是不是似曾相识？ 没看懂的话，举几例子说明一下你就明白了： 骰子有6个面，每个面朝上的机会是均等的，总共有6种结果，那么任一面朝上的概率是1/6； 随手抛一枚硬币，正面和反面出现的机会是均等的，任意一面出现的概率是1/2; 假设查理君这篇文章被点赞的概率是1/100，那么200人看过之后，大概会出现2个赞。 …… 其实在实际生活中，我们大部分人都会对可能发生的事情进行粗略的判断，比如说 “明天不太可能会下雨”； “佟丽娅有可能会和陈思诚离婚”； “韩国很有可能会部署萨德”。 …... 但是很少人天生就能够用“数字”方式对可能性进行刻画，这仅仅是信息不足的问题，而是我们的大脑的运行方式决定的。人类的大脑就像是以“模拟信号”运转的电视一样，对于一切事情，它都只能进行“模拟”思考。而基于数学语言的概率论的优势就是可以让我们的大脑从“模拟信号”转化为“数字信号”，把模糊的“有可能”，“不太可能”转化为精确的数字表达出来。 比如前面德·梅雷的赌博游戏，为什么第一种方式能让他赢钱，而第二种不行？只靠我们大脑的粗略估计法是注定搞不明白的，唯一的办法就是运用概率知识进行数学计算，得出每种玩法的准确赢率。 我们来练习一下： 第一种玩法，每掷4次骰子，至少出现一次6的概率是多少？ 这种情况用逆向思考更好(关于逆向思考可以参阅查理君的另一篇文章《如何让别人优雅地屏蔽你的朋友圈》)。 至少出现1次6的相反情况是什么？对，是每次掷骰子都不出现6。而掷1次骰子不出现6的概率是5/6，连续4次都不出现6的概率为： (5/6)^4 = 0.482 那么，4次至少出现1次6点的概率为： 1 - 0.482 = 0.518 也就是说，德·梅雷玩100次这个游戏，平均会赢51.8次。虽然赢率并不大，但是只要玩的次数够多，德·梅雷一定会是赢多输少。 第二种玩法，每掷24次骰子，至少出现一次两个点都是6点，总和为12的概率是多少？ 同样运用逆向思考。一个骰子有6个面，两个骰子一起掷，总共能够出现的组合是6x6 = 36种情况。而两个骰子同时是6的情况只有一种，也就是说不同时出现6的组合是35种，每一次掷骰子不同时出现6的概率是35/36。 那么，连续投掷24次，从不同时出现两个6的概率是： (35/36)^24 = 0.508 最后得出，至少出现一次两个骰子都是6的概率是： 1 - 0.509 = 0.491 这个数字告诉我们，第二种玩法的赢率偏向德·梅雷的对手，长期玩下去，德·梅雷一定会是输多赢少。 想想如果我们不使用概率这种数学方法，单靠我们的大脑的粗略估计，我们可能弄清楚这其中微小的差别吗？ 显然答案是否定的。 好了，第一节概率课到此结束，下课咯！ ◇ 把概率用在生活中 虽然基础概率的知识很简单，但是古人云“知易行难”，学习概率的真正难点就像查理·芒格说的，是怎样将它运用到每天的生活中去。 查理君想到的第一个方式是在打牌中学习概率。 不论是麻将，还是斗地主等这些喜闻乐见的国粹游戏，还是桥牌、德州扑克等这些高大上的国际牌类游戏，都会用到概率知识。所以，你可以找本专业书籍，或者自己研究一下，将概率知识和你的牌技提高练习起来，会是一个很好的学习概率的方式。众所周知，巴菲特就很爱桥牌，据说他每周都要打上几个小时桥牌，说不定打桥牌也是巴菲特巩固自己的概率思维方式的秘诀之一。 除了直接在打牌中运用概率知识，你还可以尝试另外一种方法：统计自己的胜率。这种方式适用于任何带有随机性的游戏之中，比如打游戏，打篮球，打牌等等，在游戏过程中，记住自己的赢的次数，再除以每次打牌的总盘数，得到的结果就是你的胜率。随着你统计次数的增长，你会发现自己的胜率越来越接近一个常数，这个常数就是你打牌时候的赢的概率。 说到这里，插播一条知识：这种胜率趋近概率的规律背后有一个定律，叫大数定律(Law of Large Numbers)。大数定律是说，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。比如在上面例子中，你统计的胜率就是“频率”的一种。任何游戏，只要这种游戏受到概率影响，一时的输赢可能是手气或运气的原因，但长期来看，真正决定你输赢的是胜率。胜率可能会波动，但是随着总次数的不断增长，胜率就会越来越稳定，并趋近概率，这就是大数定律。 除了以上两个方法，生活中还有很多可以运用概率知识的地方，下面是查理君列出来的一些例子供你参考：
相信这个列表还可以更长，正如数学家拉普拉斯所言：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。” 如果你在生活中有过运用概率的经验，欢迎和查理君分享一下。 ◇ 相信概率，别指望运气 现在是揭开查理君扑克小游戏谜底的时候了。 在这个小游戏中，如果你选择不换的话，玩99次之后，你能从查理君这里拿走的还是大概33块钱。但是如果你懂概率的话，你会做出更好的选择 —— 坚决地换！因为这样可以让你赢的钱增长1倍，也就是说你会最终赢走大概66块！ 这种区别的根本原因在于：不选择换牌赢的概率是33%，选择换牌赢的概率是66%。 如果玩这个游戏的人不懂概率，大部分人会选择坚守不动，这种现象在心理学上叫锚定效应。锚定效应是说，人们在对某人某事做出判断时，容易受到第一次选择的支配，就像沉入海底的锚能够固定住船只一样，人们也会偏向于将自己的思想固定在第一个选择上。我们常说的“第一印象”和“先入为主”说的就是这种心理效应。 当然也有一部分人可能会选择换牌，但是如果他们只是跟着感觉走，那还是在碰运气。而真正懂得这其中真谛的，只有那些懂概率并且相信概率的人，一旦他们理解这背后的玄机，一定会理性地选择换牌。 对于这个游戏的概率计算，就留给各位当做家庭作业了。 (如果你算不出来这两种选择的概率的话，有一个简单的办法：找3张扑克来实验一下，相信实验的结果会让你更加深刻地理解概率和运气之间的区别。) 美国亚马逊的创始人贝佐斯曾在一次演讲中说：“聪明是一种天赋，善良是一种选择。” 他说的后半句查理君很赞同，但前半句只能赞同一半 —— 对有的人来说，聪明是一种天赋，对大多数人来说，聪明更是一种选择。 确实有些人天生就比别人更加聪明，比如电子计算机之父冯·诺依曼就被称为普林斯顿的外星人，他的聪明程度一度让某些诺贝尔奖得主也怀疑人生。但是这样的人毕竟是少数，大部分人的智商都是位于平均线附近。而现实世界中的大多数竞争，也根本轮不到PK基因的地步，往往知识和经验就能够分出胜负。 幸运的是，知识和经验是可以通过“选择”学习来获得: 你可以选择每天练习英语口语，也可以选择每天玩游戏消磨时间； 你可以选择读书来增长知识，也可以选择在继续迷失在信息碎片中； 你可以选择每天练习使用概率，也可以选择继续依赖运气； ….. 也许人和人之间的差距，正是来源于这一次次不同的选择。虽然一两次看不出什么改变，但是日积月累，概率开始起作用，运气开始让位。到最后，那些本来和你差不多的人，靠着只是比你高几个百分点的胜率，最终把你甩得很远。 所以，从今天起，选择相信概率，忘掉运气吧。 ◇ 结语 本文中，查理君的主要观点和知识分享如下： 1) 概率论是理解真实世界的一个利器，每个人都应该掌握基本的概率知识； 2) “大数定律”告诉我们偶然中有必然，重复次数越多，频率越趋近概率； 3) “锚定效应”告诉我们，人类有“先入为主”的心理倾向。 最后，让我们重温一下查理·芒格的名言： “每天起床的时候，争取变得比你以前更聪明一点点。” ---- 查理·芒格 ♨ 本文为公众号「穷查理笔记」原创，转载需获得授权。 |
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