一位高中数学教师眼中的“数学运算”（二）

数学不是沿着清理干净的公路谨慎行进的，而是进入一个陌生的荒野的旅行，在那里探险者往往会迷失方向。撰史者应该注意这样的严酷事实：绘就的是地图，而真正的探险者却已消失在别处。 ——W﹒S﹒安格林

数学思维

1. 开方

开方（rooting），指求一个数的方根的运算，为乘方的逆运算，在中国古代也指求二次及高次方程（包括二项方程）的正根。

一个数有多少个方根，这个问题既与数的所在范围有关，也与方根的次数有关。

在实数范围内，任一实数的奇数次方根有且仅有一个，；正实数的偶数次方根是两个互为相反数的数；负实数不存在偶数次方根；零的任何次方根都是零。在复数范围内，无论n是奇数或偶数，任一个非零的复数的 n次方根都有n个。

如果复数z＝r(cosθ＋ i sinθ），r＝｜z｜，那么它的n个n次方根是：

1. 分数指数幂

分数指数幂是一个数的指数为分数，分数指数幂是根式的另一种表示形式。分数指数幂亦即是有理数指数幂，同理还可以推广到实数指数幂。

讨论题：为什么要规定a>o?

开放运算只是是指数幂的一个逆运算（a>0,n是整数），

它还有一个逆运算是对数运算。

1. 对数

3.1对数与指数互化

幂运算的指数逆运算是对数运算：底数不变，幂指数变对数，幂变真数。

讨论题：你知道为什么要规定（a>0,且≠1）与C>0吗？

3.2指数幂运算法则与对数运算法则互化（a>0且≠1，M,N>0,m,n是整数）

4.对数的发展史

4.1初次出现

对此问题论述最早的当数中国的《九章算术》，其中第195题曰：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长相等？”

与此题同类的是《九章算术》第196题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？各穿几何？”

解：设x日莞蒲等长，“日自倍”即当日生长的长度是前一日的2倍，“日自半”是当日生长的长度是前一日的一半。于是由等比数列求和公式可推出下面等式：

化简得指数方程为，可求出x值：

由此可知我国数学家在汉代已经处理过有关指数函数y=2^x的问题，但有趣的是那个时代世人尚不知对数是何物，所以此题当时是无法求得其精确值的。故《九章算术》对此题“答曰：二日十三分日之六”，即是x=2又(6/13)日，这个答案是错的，或者说只是近似值。

有兴趣者可以自己算算“两鼠对穿”的答案。“蒲生莞生”和“两鼠对穿”这两个题赋予中国古代数学家建立指数与对数的大好机遇，擦肩而过，实在可惜。可惜又何止中国的古代数学家呢!

4.2 西边风景独好

公元前三世纪，古希腊数学家阿基米德在他的名著《计砂法》中，就曾研究过以下两个数列：

并发现了幂的运算与指数之间的联系。然而，由于阿基米德的天才思想，大大超越了当时的时代，智慧的火花终因后继无人而湮灭了。

公元1544年，德国数学家斯蒂菲尔（1487～1567）在《普通算术》宣布自己发现了一种关于整数的奇妙性质，他认为：“为此，人们甚至可以写出整本整本的书”。

他发现了等差数列与等比数列之间具有这样的对应关系：

他惊奇地发现：等比数列数列中的两数相乘，其乘积的“代表者”，刚好等于等差数列数列中相应两个“代表者”之和；而等比数列中的两数相除，其商的“代表者”，也恰等于等差数列中两个“代表者”之差。斯蒂菲尔得出结论：可以通过如同上面那样的比较，把乘除运算化为加减运算！这个结论就是上面“积的对数等于对数之和，商的对数等于对数之差”的雏形。

历史常常惊人的重复着这样的人与事 ：当发现明明就在眼下，只缘一念之差，却被轻轻错过！他困惑于自己的发现为什么可以算出16×256=4096，却算不出更简单的16×250=4000。

他终于没有看出在离散中隐含着的连续，而是感叹于自己研究问题的“狭窄”。在伟大的发现面前，刚刚伸出门外的脚不得不又缩了回来。

正当斯蒂菲尔感慨自己江郎才尽，一直在对数门前来来回回之际，纳皮尔（napier，1550～1617）出现了，他的方法很简单，只不过是让任何数都找到了与它对应的“代表者”。这相当于在斯蒂菲尔离散的表中，密密麻麻地插进了许多的中间值，使人看上去宛如无数的纬线穿行于经线之中，显示出布匹般的连续。

公元1594年，纳皮尔在历经了7300个昼夜之后，精心编制了一本厚达200多页的八位对数表（对数的底数为e）。公元1614年，纳皮尔发表了《关于奇妙的对数法则的说明》一书，书中论述了对数的性质，给出了有关对数表的使用规则和实例。纳皮尔终于用自己20年的计算，换来了人世间无数寿命的延续①！法国数学家拉普拉斯夸赞说：“如果一个人的生命是拿他一生中的工作多少来衡量，那么，对数的发明，等于延长了人类的寿命。”

不幸的是，纳皮尔的工作虽然延长了他人的寿命，却没有使自己的生命得以延长。三年后，由于积劳成疾，劳累过度的纳皮尔不幸离世。

在纳皮尔离世的前一年他与牛津大学的教授布里格斯会面，他接受教授的建议，把对数的底数从e改为10，这是一项伟大的建议。从此以后对数表就改成以10为底数的常用对数。而把以e为底的对数叫自然对数（e是另一个重要的无理数，上节已出现过）。

纳皮尔的对数发明颇具传奇性，当时的欧洲，代数学仍处于十分落后的状态，此时指数的概念尚未建立。在这种情况下先提出对数的概念，不能不说是一种奇迹，正是这“神来一笔”改变了历史的发展进程。

对数是十七世纪人类最重大的发现之一。在数学史上，纳皮尔的对数、笛卡尔的解析几何及牛顿莱布尼茨的微积分三花齐放，被誉为“历史上最重要的数学方法”。

4.3纳皮尔计算尺

纳皮尔还是数学家中为数不多的能工巧匠，他发明一种计算尺，对每个自然数1，2，3，4,5,6,7,8,9，各作一把尺子，例如6号尺如图下图9-1.

例如求1615×365=？

把1号，6号，1号。5号四把尺子拿来依次排列成图9-2.从图9-2的第三行上“斜加”抄得（3+1）8（3+1）5=4845；同理从第六行抄得（6+3）6（6+3）0=9690；从第五行抄得

（5+3）0（5+2）5=8075.于是，

5.数系扩充的重新解读

5.1运算的封闭性需要

从小学到高中，数不断地扩充。扩充并不完全是生活实践的需要，比如前面说过的，0的产生就远远在分数之后，本文所讲的对数就在指数之前，这与我们课本的排列顺序可是不同的哟。为什么呢？数系的扩充缘由部分是来源于生活的需要，但是更多的是由于数学研究的需要，尤其是构造运算的封闭性的需要。

在正整数中，加法是封闭的，但是加法的逆运算就不封闭了，于是引入了0和负数。负数的引入实现了自然数到整数的扩充，使得对于加法、减法、乘法是封闭的，但除法又不封闭了，于是分数出现了，有理数紧随其后。有理数虽然对加减乘除是封闭的，对某些开方又不封闭了，无理数应运而生了。实数域中只有非负数可以开偶次方根，为了突破这种局限性，使得开方运算可以普遍施行，最终引进了虚数，导致了复数域的出现。

5.2逆运算的合理性发展

从“数的加减乘除乘方的逆运算可以进行”出发，同样可以将数从有理数逐级扩大到复数，对这种数系的扩大我们不能仅仅看成是数的量上的扩张，更重要的是“逆运算永远可以进行”中蕴含着的“正反两个方面”的思考与结论，有这一思想作轴线，使学生将高中与初中相关数学知识连成一个整体，一方面看到了数系发展的轨迹，另一方面又能通过这一事例得到方法、法则方面的借鉴而思考其他；例如幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质、图像，就是把初中的幂、指数、对数引入函数概念而引申，并以运算性质为基础发展而得到的。反过来用函数的观点来看幂、指数、对数又会有新的心得体会和感受。

逆运算进而逆问题永远是数学问题重要来源之一。

正运算都是封闭的，而逆运算一般是开放的，即正运算不会导致数域的扩充，而逆运算则可能会导致数域的扩充。当然乘方、开方、对数未必是运算的最高阶（我们一般把加减运算看成是一阶运算，乘除是二阶运算，乘方、开方、对数是三阶运算），还可能有我们没有发现的比乘方等更高的四阶、五阶、甚至更高。数域的范围也会随之变化，复数就未必是最大的数域了。

5.3插上想象的翅膀（脑洞大开）

比如说0是不能作为除数的（我们现在仍然认为0作除数无意义），能否构造一种运算让0作为除数呢？这样的运算估计会让人惊掉下巴，也必然会有新数的出现。有理数集估计又会出现新的定义方式了吧！

再比如负数为什么没有对数呢？你是否可以构造一种运算让负数有对数呢？你能对此发表你的高见吗？

全文总结：

加法是完全一致的事物的重复或累计，是数字运算的开始。减法是加法的逆运算；乘法是加法的特殊形式；除法是乘法的逆运算；乘方是乘法的特殊形式；开方是乘方的逆运算；对数是在乘方的各项中寻找规律；由对数而发展出导数；然后是微分和积分。数字运算的发展，是更特殊的情况，更高度重复下的规律。

注：

①16世纪的欧洲，由于资本主义迅速发展，天文、航海、测绘、造船等行业亦得到迅猛的发展，这就给数学提出了新的课题。有一个集中暴露出来的问题是：在星体的轨迹计算，船只的位置确定，大地的形貌测绘，船舶的结构设计等一系列的课题中，人们所遇到的数据越来越越复杂，计算也越来越难！无数的乘除、乘方、开方等等，耗费了科学家大量的极其宝贵的时间和精力。急需一种能减少运算的有效地计算工具。