经典再现27——寻找费尔马点

皮耶·德·费马(Pierre de Fermat)是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。

费尔马点就是三角形内到三角形三个顶点的距离之和最短的点。 对于一个顶角不超过120度的三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点。 对于一个顶角超过120度的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。

费尔马是如何找到费尔马点的呢？

我们先来解决下面的问题：

问题1：如图1，已知点P是边长为1的等边△ABC内的点，求PA+PB+PC的最小值。

分析：由于PA，PB，PC三线共点，它们和的大小不利于与其它线段的大小进行比较，先设法将它们转化为三条首尾相接的折线，再根据“两点之间，线段最短”确定三条线段的位置关系。

保持线段PA不动，考虑将PB、PC变换到新的位置，因此，将△PBC绕点B顺时针旋转60°，到△QBD，则PB=BQ，PC=QD，∠PBQ=60°，

连接PQ，AD。则△PBQ是等边三角形，

所以PB=PQ，

所以PA+PB+PC=AP+PQ+QD≥AD，

所以当A、P、Q、D四点共线时，

PA+PB+PC最小=AD，此时，

因为∠BPQ=∠BQP=60°，

所以∠APB=∠BQD=120°，

所以∠BPC=∠BQD=120°，

所以∠APC=360°-120°-120°=120°，

所以点P为正△ABC的中心，

所以PA+PB+PC=3PA=2√3.

所以PA+PB+PC的最小值为2√3.

问题2：如图2，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，P是△ABC内的点，求PA+PB+PC的最小值。

分析：仿照问题1的思路，将△PBC绕点B顺时针旋转60°，到△QBD，则PB=BQ，PC=QD，∠PBQ=60°，

连接PQ，AD。则△PBQ是等边三角形，

所以PB=PQ，

所以PA+PB+PC=AP+PQ+QD≥AD，

所以当A、P、Q、D四点共线时，

PA+PB+PC最小=AD，此时，

因为∠BPQ=∠BQP=60°，

所以∠APB=∠BQD=120°，

所以∠BPC=∠BQD=120°，

所以∠APC=360°-120°-120°=120°，

所以△PAC≌△PBC，

所以PA=PB，

所以∠PAB=∠PBA=30°，

延长CP交AB于E，则AE=BE=CE=√2/2，

所以PA=PB=√2/2÷√3/2=√6/3，PE=√6/6，

所以PC=√2/2-√6/6，

所以PA+PB+PC的最小值为2√6/6+√2/2-√6/6=√6/6+√2/2.

有了问题1、问题2的解决方法，对于寻找费尔马点是不是不需要费吹灰之力就可以找到了呢？