高考理数(课标专用)§2.4指数函数与对数函数考点一指数与指数函数1.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a=?,b=?,c=2?,则?
()A.b可得a调递增,所以?标卷题组五年高考方法总结比较指数式的大小时,常利用相应函数的单调性来进行.2.(2017课标Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,
且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5z?B.5z<2x<3y?C.3y<5z<2x?D.3y<2x<5z答案??D本
题考查指数、对数的运算,指数函数及其性质,考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.解法一(特值法):令x=1,则由已知条件可得3y=
2,5z=2,所以y=?,z=?,从而3y=?=?2,则3y<2x<5z,故选D.解法二(数形结合法):由
2x=3y=5z,可设(?)2x=(?)3y=(?)5z=t,因为x,y,z为正数,所以t>1,因为?=?=?,?=?=?,所以?
?,所以?2x<5z,故选D.解法三(作商法):由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln2=yln3=zln5.由?=?=?>1,
可得2x>3y;由?=?=?<1,可得2x<5z,所以3y<2x<5z,故选D.解法四(构造函数法):设2x=3y=5z=k,则x
=?,y=?,z=?,从而2x=?,3y=?,5z=?,由于x,y,z为正数,故k>1,从而只需比较?,?,?的大小,构造函数f(
x)=?(x>0且x≠1),则f''(x)=?,当x∈(0,1)∪(1,e)时,f''(x)<0;当x∈(e,+∞)时,f''(
x)>0,所以f(x)在(0,1),(1,e)单调递减,在(e,+∞)单调递增,又e<3<4<5,所以??形式.若化为同底指数式,直接利用指数函数的单调性比较大小即可;若化为同次指数式,一般要作出不同底的指数函数图象来比较.考点二对数
与对数函数(2016课标Ⅰ,8,5分)若a>b>1,0logac?D.logacb>1,0bc,A错;∵0<0,∴y=xc-1在x∈(0,+∞)上是减函数,∴bc-1>ac-1,又ab>0,∴ab·bc-1>ab·ac-1,即abc>b
ac,B错;易知y=logcx是减函数,∴0>logcb>logca,∴logbc,得-logbc>-logac>0,又a>b>1>0,∴-alogbc>-blogac>0,∴alogbc.解法二:依题意,不妨取a=4,b=2,c=?.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.方法指导本题利用特值法比较简单,注意取值
时不能盲目,要选取易于比较的值.答案?C∵f(x)=2|x-m|-1为偶函数,∴m=0.∵a=f(lo?3)=f(log23),
b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,函数f(x)=2|x|-1在(0,+∞)上为增函数,∴f(log2
5)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故选C.B组??自主命题·省(区、市)卷题组考点一指数与指数函数1.(2015天
津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25)
,c=f(2m),则a,b,c的大小关系为?()A.a①当a>1时,f(x)在[-1,0]上单调递增,则?无解.②当0+b=-?.2.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=
?.3.(2018上海,11,5分)已知常数a>0,函数f(x)=?的图象经过点P?、Q?.若2p+q=36pq,则a=?.解析
本题主要考查指数式的运算.由已知条件知f(p)=?,f(q)=-?,所以?①+②,得?=1,整理得2p+q=a2pq,又2p+q=
36pq,∴36pq=a2pq,又pq≠0,∴a2=36,∴a=6或a=-6,又a>0,得a=6.答案6考点二对数与对数函数1
.(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln2,c=lo??,则a,b,c的大小关系为?()A.a>b>c?B.
b>a>c?C.c>b>a?D.c>a>b答案?D本题主要考查对数的大小比较.由已知得c=log23,∵log23>log2e>
1,b=ln2<1,∴c>a>b,故选D.方法总结比较对数的大小①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数
为同一字母,则需对底数进行分类讨论;②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;③若底数与真数都不同,则常借
助1,0等中间量进行比较.答案?C由指数函数及对数函数的单调性易知0lo??=1
,故c>a>b.2.(2014辽宁,3,5分)已知a=?,b=log2?,c=lo??,则?()A.a>b>c?B.a>c>b
?C.c>a>b?D.c>b>a3.(2014福建,4,5分)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图
象正确的是?()答案????B由题图可知y=logax的图象过点(3,1),∴loga3=1,即a=3.A项,y=?在R上为
减函数,错误;B项,y=x3符合;C项,y=(-x)3=-x3在R上为减函数,错误;D项,y=log3(-x)在(-∞,0)上为减
函数,错误.答案?A解法一:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x∈(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x
)=-f(x),则f(x)是奇函数.∵当x∈(0,1)时,f''(x)=?+?=?>0,∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,
选A.解法二:同解法一知f(x)是奇函数.当x∈(0,1)时,f(x)=ln?=ln?=ln?.∵y=?(x∈(0,1))是增函
数,y=lnx也是增函数,∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.解法三:同解法一知f(x)是奇函数.任取x1,x2∈(0
,1),且x1n?.∵(1-x1x2+x1-x2)-(1-x1x2+x2-x1)=2(x1-x2)<0,且(1+x1)·(1-x2)>0,(1+
x2)(1-x1)>0,∴0上,选A.4.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是?()A.奇函数,且在(0
,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数答
案?D设?=?=t(t>0),∴3361=t·1080,∴361lg3=lgt+80,∴361×0.48=lgt+80,∴
lgt=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.故选D.6.(2014重庆,12,5分)函数f(x)=log2?·
log?(2x)的最小值为?.答案-?解析显然x>0,∴f(x)=log2?·lo?(2x)=?log2x·log2(4x2
)=?log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=?-?≥-?,当且仅当x=?时,取“=”,故f(x)
min=-?.5.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数
N约为1080.则下列各数中与?最接近的是(参考数据:lg3≈0.48)?()A.1033?B.1053?C.1073?D.
10937.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=?(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是?.答案
(1,2]解析当x≤2时,f(x)=-x+6,f(x)在(-∞,2]上为减函数,∴f(x)∈[4,+∞).当x>2时,若a
∈(0,1),则f(x)=3+logax在(2,+∞)上为减函数,f(x)∈(-∞,3+loga2),显然不满足题意,∴a>1,
此时f(x)在(2,+∞)上为增函数,f(x)∈(3+loga2,+∞),由题意可知(3+loga2,+∞)?[4,+∞),则3
+loga2≥4,即loga2≥1,∴1的性质可得,x2-x<2,解得-1式?<4的解集为?.答案{x|-1∵0?,∴ln?>ln?,∴p=r0p
?C.p=rq答案???A?f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-
f(x),①正确.f?=ln?-ln?=ln?-ln?,∵x∈(-1,1),∴f?=2ln(1+x)-2ln(1-x)=2[ln
(1+x)-ln(1-x)]=2f(x),②正确.当x∈[0,1)时,|f(x)|=ln(1+x)-ln(1-x)=ln?,2|x
|=2x,令g(x)=ln?-2x,则g''(x)=?≥0,∴g(x)在[0,1)上为增函数,∴g(x)≥g(0)=0,即|f(x)
|≥2|x|;当x∈(-1,0)时,|f(x)|=ln(1-x)-ln(1+x)=-ln?,2|x|=-2x,令h(x)=2x-l
n?,则h''(x)=?<0,∴h(x)在(-1,0)上为减函数,∴h(x)>0,即|f(x)|>2|x|.∴当x∈(-1,1)时,
|f(x)|≥2|x|,③正确.2.(2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有
下列命题:①f(-x)=-f(x);②f?=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是?()A.①②③
????B.②③????C.①③????D.①②解析令logab=t,∵a>b>1,∴0?得,t+?=?,解得t=?或t=2(舍去),即logab=?,∴b=?,又ab=ba,∴?=(?)a,即?=?,亦即?=?,解得
a=4,∴b=2.一题多解由对数运算法则得a=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,∵log27>log25>
log23>0,∴?b>c.选D.4.(2016浙江,12,6分)已知a>b
>1.若logab+logba=?,ab=ba,则a=?,b=?.3.(2013课标Ⅱ,8,5分,0.678)设a=log36,b
=log510,c=log714,则()A.c>b>a?B.b>c>a?C.a>c>b?D.a>b>c答案?D由对数运算法则
得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得log32>log52>log72,所以
a>b>c,故选D.答案4;2答案???解析∵a=log43=log2?,∴2a+2-a=?+?=?+?=?.5.(2015
浙江,12,4分)若a=log43,则2a+2-a=?.答案?B?y=2x-2-x是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数.而y=s
inx不是单调递增函数,不符合题意;y=?是非奇非偶函数,不符合题意;y=log2x的定义域是(0,+∞),不符合题意;y=x3
是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数符合题意.故选B.A组2016—2018年高考模拟·基础题组考点一指数与指数函数1.(
2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是?()A.y=sinx?
B.y=x3?C.y=??D.y=log2x三年模拟答案?B?b=lo?0.3>lo??=1>a=?,c=ab故选B.3.(2018河南八市学评第一次测评,10)设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上
具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=?的大小关系是?()A.M=N?B.M≤N?C.MN答案?D因为
f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1
,N=?<1,所以M>N,故选D.2.(2018福建厦门一模,5)已知a=?,b=lo?0.3,c=ab,则a,b,c的大小关系是
?()A.a0时,11.∵x>0时,bx
0时,?>1.∴?>1,∴a>b.∴1地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为?()?答案???
?D设原有荒漠化土地面积为b,经过x年后荒漠化面积为z,∴z=b(1+10.4%)x,故y=?=(1+10.4%)x,其是底数大
于1的指数函数.故选D.4.(2017河南南阳、信阳等六市一模,5)已知a、b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,1x,则?()A.0研,13)已知函数f(x)=?(a∈R)的图象关于点?对称,则a=?.解析由已知,得f(x)+f(-x)=1,即?+?=1,
整理得(a-1)[22x+(a-1)·2x+1]=0,所以当a-1=0,即a=1时,等式成立.答案1答案??D∵a=?,b=l
o??,c=log3?,∴0lo??=1,c=log3?a>c.故选D.
考点二对数与对数函数1.(2018湖南湘潭三模,7)已知a=?,b=lo??,c=log3?,则?()A.b>c>a?B.a
>b>c?C.c>b>a?D.b>a>c答案?D由?得x∈(-10,10),故函数f(x)的定义域为(-10,10),关于原点对
称,又f(-x)=lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,而f(x)=lg(10+x)+lg(10-
x)=lg(100-x2),y=100-x2在(0,10)上递减,y=lgx在(0,+∞)上递增,故函数f(x)在(0,10)上
递减,故选D.2.(2018广东肇庆二模,8)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则?()A.f(x)是奇函数,
且在(0,10)上是增函数 B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数 D.
f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数答案??A∵函数f(x)=loga(x+?)在区间(-∞,+∞)上是奇函数,∴f(0
)=0,∴b=1,又函数f(x)=loga(x+?)在区间(-∞,+∞)上是增函数,所以a>1,所以g(x)=loga||x|-1
|的定义域为{x|x≠±1},且在(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,故选A.3.(2018河南商丘二模,8)已知a>0且a≠
1,函数f(x)=loga(x+?)在区间(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga||x|-b|的图象是?(
)答案????D令y=ea,则a=lny,令y=ln?+?,可得b=2?,令h(y)=b-a,则h(y)=2?-lny,
∴h''(y)=2?-?.显然,h''(y)是增函数,观察可得当y=?时,h''(y)=0,故h''(y)有唯一零点.故当y=?时,h(y
)取得最小值,为2?-ln?=2+ln2,故选D.4.(2018山东淄博模拟,10)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln?+?
,对任意a∈R,存在b∈(0,+∞),使f(a)=g(b),则b-a的最小值为?()A.2?-1????B.e2-??C.2
-ln2????D.2+ln25.(2016河南焦作一模,6)若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|0},则函数y=loga|x|的图象大致是?()?答案??A函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|0则0除B,D;f(x)=1+log2x为增函数,且经过点?,排除A.故选C.6.(2017福建永定月考,5)函数f(x)=1+log
2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是?(????)7.(2017江西一模,15)若函数f(x)=loga?(
a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是???.解析∵函数f(x)=loga?(a>0且a≠1)的值域为R,∴x+?-
4能取遍所有的正数,又当x>0时,x+?-4≥2?-4,当x<0时,x+?-4≤-2?-4,∴要满足题意,需2?-4≤0,解得a≤
4.故实数a的取值范围是(0,1)∪(1,4].答案(0,1)∪(1,4]B组2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:
25分钟分值:35分)答案?B由题中图象可知a>1,b=?,c漳州二模,7)已知函数y=xa,y=xb,y=cx的图象如图所示,则a、b、c的大小关系为?(????)?A.a函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|-1)的图象可以是?()?答案?C因
函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数,故0|x>1或x<-1},x>1时函数y=loga(|x|-1)的图象可以通过函数y=logax的图象向右平移1个单位得到,故选C.思
路分析由函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数求得a的范围,结合所求函数的解析式,再根据对数函数的图象特征得
出结论.方法点拨要掌握函数的奇偶性和单调性,对数函数的图象特征以及图象平移的规律.答案??A由函数f(x)=lnx+a可得f
''(x)=?,∵x0使f''(x)=f(x)成立,∴?=lnx0+a,又01,lnx0<0,∴a=?-ln
x0>1,故选A.3.(2018广东汕头一模,10)函数f(x)=lnx+a的导数为f''(x),若方程f''(x)=f(x)
的根x0小于1,则实数a的取值范围为?()A.(1,+∞)????B.(0,1)????C.(1,?)????D.(1,
?)思路分析将a用含x0的式子表示出来,进而由x0的范围得a的范围.答案??B已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意
两个不相等的正数x1,x2,都有?>0,故x1-x2与x2f(x1)-x1f(x2)同号,则x1-x2与??同号,∴函数y=?
是(0,+∞)上的增函数,∵1<30.2<2,0<0.32<1,log25>2,∴0.32<30.2选B.思路分析由题意可得函数y=?是(0,+∞)上的增函数,比较大小可得0.32<30.217河南平顶山一模,12)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数.对任意两个不相等的正数x1,x2,都有?>0,记a=?,b=?
,c=?,则?()A.ax)=ex+2(x<0)与g(x)=ln(x+a)+2的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是?()A.(-∞,e)
????B.(0,e)????C.(e,+∞)????D.(-∞,1)答案???B由题意知,方程f(-x)-g(x)=0在(0,+∞)上有解,即e-x-ln(x+a)=0在(0,+∞)上有解,即函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在(0,+∞)上有交点,则lna<1,即00,a≠1)且f(0)=0.(1)求a的值;(2)若函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k有零点,求实数k的取值范围;(3)当x∈(0,1)时,f(x)>m·2x-2恒成立,求实数m的取值范围.思路分析(1)由f(0)=0求出a;(2)转化为2x-1+k=0有根,分离参数,转化为y=2x与y=1-k的图象有交点;(3)转化为m0,a≠1),由f(0)=1-?=0,得a=2.(2)由(1)知f(x)=1-?=1-?.因为函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k=2x+1-2+k=2x-1+k有零点,所以函数y=2x的图象和直线y=1-k有交点,∴1-k>0,即k<1.(3)∵当x∈(0,1)时,f(x)>m·2x-2恒成立,即1-?>m·2x-2恒成立,亦即m?+?=?,∴m≤?. |
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