高考理数(课标专用)§4.4解三角形答案????A本题考查二倍角公式和余弦定理.∵cos?=?,∴cosC=2cos2?-1=2
×?-1=-?,又∵BC=1,AC=5,∴AB=?=?=4?.故选A.A组??统一命题·课标卷题组考点一正弦定理与余弦定理1.(
2018课标Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cos?=?,BC=1,AC=5,则AB=?()A.4??B.??C.??D.2?五
年高考答案???C过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=?BC,则CD=?BC,AB=?BC,AC=?BC,在△ABC
中,由余弦定理的推论可知,cos∠BAC=?=?=-?,故选C.?2.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=?,BC边上
的高等于?BC,则cosA=?()A.??B.??C.-??D.-?思路分析作AD⊥BC(垂足为D),由已知结合勾股定理
把AB与AC均用BC表示出来,再利用余弦定理的推论求得cos∠BAC的值.一题多解另解一:过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知A
D=BD=?BC,则CD=?BC,在Rt△ADC中,AC=?BC,sin∠DAC=?,cos∠DAC=?,又因为∠B=?,所以co
s∠BAC=cos?=cos∠DAC·cos?-sin∠DAC·sin?=?×?-?×?=-?,故选C.另解二:过A作AD⊥BC,
垂足为D,由题意知AD=BD=?BC,则CD=?BC,AB=?BC,AC=?BC,而?·?=(?+?)·(?+?)=?+?·?+?
·?+?·?=?BC2-?BC2=-?BC2,所以cos∠BAC=?=?=-?,故选C.另解三:过A作AD⊥BC,垂足为D,设BC
=3a(a>0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(-
a,0),C(2a,0),A(0,a),所以?=(-a,-a),?=(2a,-a),所以|?|=?a,|?|=?a,所以cos∠B
AC=?=?=-?,故选C.3.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=?,c
osC=?,a=1,则b=?.解析由已知可得sinA=?,sinC=?,则sinB=sin(A+C)=?×?+?×?=?
,再由正弦定理可得?=??b=?=?.答案??思路分析利用同角三角函数的平方关系求出sinA与sinC的值,进而由sin
B=sin(A+C)求出sinB的值,再利用正弦定理即可求出b的值.解析(1)在△ABD中,由正弦定理得?=?.由题设知,?=
?,所以sin∠ADB=?.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=?=?.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin
∠ADB=?.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2?×?=25.
所以BC=5.4.(2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1
)求cos∠ADB;(2)若DC=2?,求BC.方法总结正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要
知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在
利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题
时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角
恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得?acsinB=?,即?csinB=?.由正弦定理得?s
inCsinB=?.故sinBsinC=?.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-?,即co
s(B+C)=-?.所以B+C=?,故A=?.由题设得?bcsinA=?,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+
c)2-3bc=9,得b+c=?.故△ABC的周长为3+?.5.(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别
为a,b,c.已知△ABC的面积为?.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
方法总结解三角形的综合应用.(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将?c
sinB=?变形为?sinCsinB=?.(2)三角形面积公式:S=?absinC=?acsinB=?bcsinA.(
3)三角形的内角和为π.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在△ABC中,sin(B+C)=sinA.思路分析(1)
首先利用三角形的面积公式可得?acsinB=?,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sinBsinC的值;(2)首
先利用sinBsinC的值以及题目中给出的6cosBcosC=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角
形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出△ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos
C(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,?(2分)2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinC
cosC=sinC.?(4分)可得cosC=?,所以C=?.?(6分)(2)由已知,得?absinC=?.又C=?,所以a
b=6.?(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.∴a+b=5.
?(10分)所以△ABC的周长为5+?.?(12分)6.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b
,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=?,△ABC的面积为?,求△ABC的周长.解析
(1)S△ABD=?AB·ADsin∠BAD,S△ADC=?AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠C
AD,所以AB=2AC.由正弦定理可得?=?=?.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=?.在△ABD和△ADC
中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+
2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.7.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D
是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求?;(2)若AD=1,DC=?,求BD和AC的长.考点二
解三角形及其综合应用1.(2018课标Ⅲ,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为?,则C=
?()A.??B.??C.??D.?答案?C本题考查解三角形及其综合应用.根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC
,因为S△ABC=?,所以S△ABC=?,又S△ABC=?absinC,所以tanC=1,因为C∈(0,π),所以C=?.故选
C.答案??B?S△ABC=?AB·BCsinB=?×1×?sinB=?,∴sinB=?,∴B=45°或135°.若B=45
°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC
cosB=1+2-2×1×?×?=5,∴AC=?.故选B.思路分析利用S△ABC=?AB·BCsinB求出sinB的值,进
而分析出B的大小,再利用余弦定理求解AC的值.2.(2014课标Ⅱ,4,5分,0.472)钝角三角形ABC的面积是?,AB=1,B
C=?,则AC=?()A.5????B.??C.2????D.1答案??解析因为a=2,所以(2+b)(sinA-s
inB)=(c-b)sinC可化为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)·(a-
b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=?=?=?,又0≥?,所以bc≤4,当且仅当b=c时取等号.由三角形面积公式知S△ABC=?bcsinA=?bc·?=?bc≤?,故△ABC面积
的最大值为?.3.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin
A-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为?.答案(?-?,?+?)解析依题意作出四边形ABCD,连接
BD.令BD=x,AB=y,∠CDB=α,∠CBD=β.在△BCD中,由正弦定理得?=?.由题意可知,∠ADC=135°,则∠AD
B=135°-α.在△ABD中,由正弦定理得?=?.所以?=?,即y=?=?=?=?.4.(2015课标Ⅰ,16,5分,0.043
)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是?.因为0°<β<75°,α+β+75°=180°
,所以30°<α<105°,当α=90°时,易得y=?;当α≠90°时,y=?=??,此时由30°<α<105°,及tan30°
=?,tan105°=tan(60°+45°)=?=-2-?,可知?∈(?-2,?),且?≠0,所以y=??∈(?-?,?)∪(
?,?+?).综上所述:y∈(?-?,?+?).思路分析连接BD,在△BCD与△ABD中分别利用正弦定理得出边角之间的关系,利用
BD作为桥梁连接两个关系,从而建立AB关于∠CDB的三角函数,从而利用∠CDB的取值范围求AB的取值范围.答案?A在△ABC中,
设A、B、C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcosC,得13=9+b2-2×3b×?,即b2+3b-4=0
,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.B组??自主命题·省(区、市)卷题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2016天津,3
,5分)在△ABC中,若AB=?,BC=3,∠C=120°,则AC=?()A.1????B.2????C.3????D.
42.(2017山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2
cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是?()A.a=2b?B.b=2a C.A=2B?
D.B=2A答案?A本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理.解法一:因为sinB(1+2cosC)=2sinAcos
C+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),所以sinB+2sin
BcosC=sinAcosC+sinB,即cosC(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或2sinB=
sinA,即C=90°或2b=a,又△ABC为锐角三角形,所以0°得b?=2a×?+c×?,所以2b2?=a2+3b2-c2,即?(a2+b2-c2)=a2+b2-c2,即(a2+b2-c2)?=
0,所以a2+b2=c2或2b=a,又△ABC为锐角三角形,所以a2+b2>c2,故2b=a,故选A.方法总结?解三角形时,可以由
正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求解.注意灵活运用三角公式.解析本小题考查正弦定理、余弦定理.由?=?得s
inB=?sinA=?,由a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).3.(2018浙江,1
3,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=?,b=2,A=60°,则sinB=?,c=?.4.(201
5北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则?=?.答案??;3解析在△ABC中,由余弦定理的推论可得cosA
=?=?=?,由正弦定理可知?=?=?=?=1.答案1评析本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的
运算求解能力和知识的应用转化能力.5.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sinA+?sinB=2sinC,则c
osC的最小值是?.解析∵sinA+?sinB=2sinC,∴由正弦定理得a+?b=2c,∴cosC=?=?=?=?≥
?=?,当且仅当?a=?b时等号成立,故cosC的最小值为?.答案??评析本题考查正弦、余弦定理及基本不等式等知识的灵活运用
,对运算及恒等变形能力有较高的要求.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定
理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在△ABC中,因为a>b,故由sinB=?,可得cosB=?.由已知及余弦定理
,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=?.由正弦定理?=?,得sinA=?=?.所以,b的值为?,sinA的值
为?.(2)由(1)及a.故sin?=sin2Acos?+cos2Asin?=?.6.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的
边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=?.(1)求b和sinA的值;(2)求sin?的值.方法总结1.利
用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3
)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.2.解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变形方
向;(2)规范书写,合理选择公式;(3)计算准确,注意符号.解析(1)由余弦定理及题设得cosB=?=?=?.又因为0<∠B<
π,所以∠B=?.(2)由(1)知∠A+∠C=?,∴∠C=?-∠A.∴?cosA+cosC=?cosA+cos?=?cos
A-?cosA+?sinA=?cosA+?sinA=cos?.因为0<∠A取得最大值1.7.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+?ac.(1)求∠B的大小;(2)求?cosA+
cosC的最大值.答案??C?c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6①.∵C=?,∴由余弦定理得c2=a2+b2
-ab②,由①和②得ab=6,∴S△ABC=?absinC=?×6×?=?,故选C.考点二解三角形及其综合应用1.(2014江
西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=?,则△ABC的面积是?()
A.3????B.??C.??D.3?2.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠A
BC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为?.解析依题意画出图形,如图所示.?易知S△ABD
+S△BCD=S△ABC,即?csin60°+?asin60°=?acsin120°,∴a+c=ac,∴?+?=1,∴4a+
c=(4a+c)?=5+?+?≥9,当且仅当?=?,即a=?,c=3时取“=”.答案9一题多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD
为∠ABC的平分线,?∴?=?=?,∵DE∥CB,∴?=?=?=?,∴?=??,?=??.∴?=??+??.∴?=?,∴1=?+?
+2·?·?|?|·|?|×?,一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,?则D(1,0).∵AB=
c,BC=a,∴A?,C?.∵A,D,C三点共线,∴?∥?,∴??+?c?=0,∴ac=a+c,∴?+?=1,∴4a+c=(4a+
c)?=5+?+?≥9,当且仅当?=?,即a=?,c=3时取“=”.∴1=?,∴ac=a+c,∴?+?=1,∴4a+c=(4a+c
)?=5+?+?≥9,当且仅当?=?,即a=?,c=3时取“=”.3.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上
向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为
30°,则此山的高度CD=?m.?解析依题意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=
30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由?=?,得?=?,有CB=300?,在Rt△BCD中,CD=CB·tan
30°=100?,则此山的高度CD=100?m.答案100?答案???;?解析本题考查余弦定理,同角三角函数的基本关系式
,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能力.∵AB=AC=4,BC=2,∴cos∠ABC=?=?,∵∠ABC为三角形的内角,∴
sin∠ABC=?,∴sin∠CBD=?,故S△CBD=?×2×2×?=?.∵BD=BC=2,∴∠ABC=2∠BDC.又cos∠A
BC=?,∴2cos2∠BDC-1=?,得cos2∠BDC=?,又∠BDC为锐角,∴cos∠BDC=?.4.(2017浙江,14,
5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是?,cos∠BDC=?
.答案??解析由?·?=tanA,A=?,得|?||?|cos?=tan?,即|?|·|?|=?=?,所以S△ABC=?|?
|·|?|sinA=?×?×?=?.5.(2014山东,12,5分)在△ABC中,已知?·?=tanA,当A=?时,△ABC的
面积为?.解析(1)在△ABC中,因为cosB=-?,所以sinB=?=?.由正弦定理得sinA=?=?.由题设知?<∠B
<π,所以0<∠AB=?,所以AC边上的高为asinC=7×?=?.6.(2018北京,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=
-?.(1)求∠A;(2)求AC边上的高.方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边
、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.7.(2018天津,15,13分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos?.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求
b和sin(2A-B)的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定
理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在△ABC中,由正弦定理?=?,可得bsinA=asinB,又由bsinA=
acos?,得asinB=acos?,即sinB=cos?,可得tanB=?.又因为B∈(0,π),可得B=?.(2)在△A
BC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=?,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=?.由bsinA=acos?,可得s
inA=?.因为a2)由余弦定理及已知条件求得sinA,利用a0是求解第(2)问的关键.因此sin2A=2sinAcos
A=?,cos2A=2cos2A-1=?.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=?×?-?×
?=?.失分警示(1)由于忽略a差的正弦公式,从而导致结果出错.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=
?a,所以由正弦定理得sinC=?=?×?=?.(2)因为a=7,所以c=?×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A得72=b2+32-2b×3×?,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=?bcsinA=?×8×3×?=6?.8.
(2017北京,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=?a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.解后
反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.解析(
1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB
+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=?得?absinC=?,故有sinBsi
nC=?sin2B=sinBcosB,因sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=?±B.当
B+C=?时,A=?;当C-B=?时,A=?.综上,A=?或A=?.9.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C
所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=?,求角A的大小.评析本题
主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.解析(1)由题意知2?=?+?,化简得2(s
inAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB.因为A+B+C=
π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.(2)
由(1)知c=?,所以cosC=?=?=??-?≥?,当且仅当a=b时,等号成立.故cosC的最小值为?.10.(2016山东
,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tanA+tanB)=?+?.(1)证明:a+b=2
c;(2)求cosC的最小值.评析本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查了化归与转化的思
想方法,属中档题.解析(1)证明:由a=btanA及正弦定理,得?=?=?,所以sinB=cosA,即sinB=sin?
.又B为钝角,因此?+A∈?,故B=?+A,即B-A=?.(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-?=?-2A>0,所以A∈?.
于是sinA+sinC=sinA+sin?=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2?+?.11.(2
015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=?;
(2)求sinA+sinC的取值范围.因为0nC的取值范围是?.12.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=?,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,co
s∠ADC=?.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.?解析(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=?,所以sin∠
ADC=?.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=?×?-?×?=?.
(2)在△ABD中,由正弦定理得BD=?=?=3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=82
+52-2×8×5×?=49.所以AC=7.评析本题考查了三角变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.C组
????教师专用题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
.已知△ABC的面积为3?,b-c=2,cosA=-?,则a的值为?.解析在△ABC中,由sinB=?,可得B=?或B=?,
结合C=?可知B=?.从而A=?π,利用正弦定理?=?,可得b=1.2.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对
边分别为a,b,c.若a=?,sinB=?,C=?,则b=??.解析因为cosA=-?,0由3?=?bcsinA得bc=24.又因为b-c=2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=36+
16+12=64.故a=8.答案8答案1答案????解析依题意知∠BDA=∠C+?∠BAC,由正弦定理得?=?,∴sin?
=?,∵∠C+∠BAC=180°-∠B=60°,∴∠C+?∠BAC=45°,∴∠BAC=30°,∠C=30°.从而AC=2·ABc
os30°=?.3.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=?,A的角平分线AD=?,则AC=?.答案-
?解析由2sinB=3sinC得2b=3c,即b=?c,代入b-c=?a,整理得a=2c,故cosA=?=?=-?.4.
(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=?a,2sinB=3sinC,则
cosA的值为?.解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC
=(3?)2+62-2×3?×6×cos?=18+36-(-36)=90,所以a=3?.又由正弦定理得sinB=?=?=?,由题
设知0ABC中,∠A=?,AB=6,AC=3?,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析(1)由已知及正弦定理得sinA=sin
BcosC+sinC·sinB.?①又A=π-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosB
sinC.?②由①②和C∈(0,π)得sinB=cosB.又B∈(0,π),所以B=?.(2)△ABC的面积S=?acsin
B=?ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos?.又a2+c2≥2ac,故ac≤?,当且仅当a=c时,等号成立.因此
△ABC面积的最大值为?+1.6.(2013课标Ⅱ,17,12分,0.516)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.方法总结求三角形面积的最值时,常利用基本不等
式求两边之积的最值,从而确定面积的最值.解析(1)由acosC+?asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+?
sinAsinC-sinB-sinC=0.因为B=π-A-C,所以?sinAsinC-cosAsinC-sinC
=0.由于sinC≠0,所以sin?=?.又02=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.评析?本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.灵活
运用正、余弦定理是求解关键.正确的转化是本题的难点.7.(2011课标,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,
C的对边,acosC+?asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为?,求b,c.考点二解三角形及其
综合应用1.(2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46
m,则河流的宽度BC约等于?m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,s
in37°≈0.60,cos37°≈0.80,?≈1.73)解析不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46m,于是BD=
AD·tan(90°-67°)=46×?≈19.5m,DC=AD·tan(90°-30°)=46×?≈79.6m,∴BC=DC
-BD=79.6-19.5≈60m.答案602.(2012课标,16,5分)在△ABC中,B=60°,AC=?,则AB+2BC
的最大值为?.解析设AC=b=?,AB=c,BC=a,在△ABC中,?=?=?=2,∴a=2sinA,c=2sinC,又A+
C=120°,∴AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120°-C)=4sinC+2?co
sC=2?sin(C+φ),其中sinφ=?,cosφ=?,∴30°<φ<60°,而0°80°,∴当C+φ=90°时,AB+2BC有最大值2?.答案2?失分警示没有找到由正弦定理将AB+2BC转化为角A和角C的正
弦的思路,导致无从下手,无法得出正确的结果.解析(1)因为m∥n,所以asinB-?bcosA=0,由正弦定理,得sinA
sinB-?sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=?,由于0,得a2=b2+c2-2bccosA,及a=?,b=2,A=?,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=
3.故△ABC的面积为?bcsinA=?.3.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向
量m=(a,?b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=?,b=2,求△ABC的面积.解法二:由正弦定理,
得?=?,从而sinB=?,又由a>b,知A>B,所以cosB=?.故sinC=sin(A+B)=sin?=sinBcos
?+cosBsin?=?.所以△ABC的面积为?absinC=?.4.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面
四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan?=?;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan?+
tan?+tan?+tan?的值.解析(1)tan?=?=?=?.(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B
.由(1),有tan?+tan?+tan?+tan?=?+?+?+?=?+?.连接BD.在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2
AB·ADcosA,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC,所以AB2+AD2-2AB·ADcosA=
BC2+CD2+2BC·CDcosA.则cosA=?=?=?.于是sinA=?=?=?.连接AC.同理可得cosB=?=?
=?,于是sinB=?=?=?.所以,tan?+tan?+tan?+tan?=?+?=?+?=?.评析本题主要考查二倍角公式、诱
导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想.解析(1)由b2-a2
=?c2及正弦定理得sin2B-?=?sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A=?,即B+C=?π,得-cos2B=s
in2C=2sinCcosC,解得tanC=2.(2)由tanC=2,C∈(0,π)得sinC=?,cosC=?.又
因为sinB=sin(A+C)=sin?,所以sinB=?.由正弦定理得c=?b,又因为A=?,?bcsinA=3,所以bc
=6?,故b=3.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.5.(2015浙江,16,14分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=?,b2-a2=?c2.(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面
积为3,求b的值.6.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=?.(1)求cos∠C
AD的值;(2)若cos∠BAD=-?,sin∠CBA=?,求BC的长.解析(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=?
=?=?.(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=?,cos∠BAD=-?,所以sin∠CAD=?=?
=?,sin∠BAD=?=?=?.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin
∠CAD=?×?-?×?=?.在△ABC中,由正弦定理,得?=?,故BC=?=?=3.7.(2013课标Ⅰ,17,12分,0.46
3)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=?,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=?,求PA;(2
)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解析(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得P
A2=3+?-2×?×?cos30°=?.故PA=?.(2)设∠PBA=α,由已知得∠PAB=30°-α,PB=sinα.在△
PBA中,由正弦定理得?=?,化简得?cosα=4sinα.所以tanα=?,即tan∠PBA=?.思路分析(1)由已知求
出∠PBA,在△PAB中利用余弦定理求解PA;(2)设∠PBA=α,则∠PAB=30°-α,在Rt△PBC中求得PB=sinα,
然后在△PBA中利用正弦定理求得tanα.答案?A?因为2sinC=sinA+sinB,所以由正弦定理可得2c=a+b①,
由cosC=?可得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-?ab②,又由cosC=?,得sinC=?,所以S△AB
C=?absinC=?=4,∴ab=10③.由①②③解得c=?,故选A.A组2016—2018年高考模拟·基础题组考点一正
弦定理与余弦定理1.(2018湖南衡阳2月调研,6)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边,若2sinC=sin
A+sinB,cosC=?且S△ABC=4,则c=?()A.??B.4????C.??D.5三年模拟答案????B由余
弦定理b2=a2+c2-2accosB可得acosB=?,又acosB-c-?=0,a2=?bc,所以c+?=?,即2b2-
5bc+2c2=0,所以有(b-2c)·(2b-c)=0.所以b=2c或c=2b,又b>c,所以?=2.故选B.2.(2018山东
菏泽3月联考,8)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB-c-?=0,a2=?bc,b>c,则?=?
()A.??B.2????C.3????D.?答案????A由正弦定理及题意可得2sinAcosA=sinBco
sC+sinCcosB.又知在△ABC内,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴2si
nAcosA=sinA,∵sinA≠0,∴cosA=?.又∵A∈(0,π),∴A=?.∴a2=b2+c2-2bccos
A=(b+c)2-3bc=16-3bc,∵b,c均为正数,∴b+c≥2?,∴bc≤4,当且仅当b=c时取“=”.∴a2=16-3
bc≥16-12=4,又∵a>0,∴a≥2.∴a的最小值为2,故选A.3.(2018江西赣州2月联考,7)在△ABC中,内角A,B
,C的对边分别为a,b,c,满足2acosA=bcosC+ccosB,且b+c=4,则a的最小值为?()A.2????
B.2??C.3????D.2?答案??A由2bsin2A=asinB,得4bsinA·cosA=asinB,由正
弦定理得4sinB·sinA·cosA=sinA·sinB,∵sinA≠0,且sinB≠0,∴cosA=?,由余弦
定理得a2=b2+4b2-b2,∴a2=4b2,∴?=2.故选A.5.(2017安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分
别为a,b,c,若cosC=?,bcosA+acosB=2,则△ABC的外接圆面积为?()A.4πB.8πC.9
πD.36π答案?C已知bcosA+acosB=2,由正弦定理可得2RsinBcosA+2RsinAcosB=2
(R为△ABC的外接圆半径).利用两角和的正弦公式得2Rsin(A+B)=2,则2RsinC=2,因为cosC=?,所以sin
C=?,所以R=3.故△ABC的外接圆面积为9π.故选C.4.(2017湖南长郡中学六模,6)若△ABC的内角A,B,C所对的边
分别为a,b,c,已知2bsin2A=asinB,且c=2b,则?等于()A.2????B.3????C.??D.?
答案??解析∵cosA=?,cosB=?,A,B,C为三角形内角,∴sinA=?=?,sinB=?=?,∴cosC=
cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=?×?-?×?=?,∴C=45°.又由正
弦定理知?=?,∴?=?,解得a=?.6.(2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,15)已知在△ABC中,角A,B,C所对的
边分别是a,b,c,cosA=?,cosB=?,c=?,则a=?.答案?C在△ABC中,2ccosB=2a+b,由正弦定理
,得2sinCcosB=2sinA+sinB.又A=π-(B+C),所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+
C),所以2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB,得2
sinBcosC+sinB=0,因为sinB≠0,所以cosC=-?,又0nC=?ab×?,得c=?.又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab(当且仅当a=b时取等号
),所以?≥3ab,得ab≥48,所以ab的最小值为48,故选C.考点二解三角形及其综合应用1.(2018河南郑州一模,11)在
△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b,若△ABC的面积S=?c,则ab的最小值为?()A
.28????B.36????C.48????D.56答案?A由正弦定理,得?sinAsinB+sinAcosB=
sinB+sinC,又sinC=sin(A+B),∴?sinAsinB+sinAcosB=sinB+sin(A+B
),可得?sinAsinB-cosAsinB=sinB,又sinB≠0,∴?sinA-cosA=1,∴sin?=?
,由0·|?|cosA)=?,结合已知条件可解得|?|=2,即c=2.由余弦定理,得a=?=?,由正弦定理,得△ABC的外接圆半径R=
?=1.故选A.2.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB+?a
sinB=b+c,b=1,点D是△ABC的重心,且AD=?,则△ABC的外接圆的半径为?()A.1????B.2????
C.3????D.4答案?D在△ABC中,A+B+C=π,又A∶B∶C=3∶4∶5,∴A=?,B=?,C=?π.由正弦定理?=
?=?=2R(a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边,R为△ABC的外接圆半径)可得,a=?·c,b=?·c,R=?.∴S1=?
absinC=?·?·?·c2·sinC=?sinA·sinB·sinC·?,S2=πR2=?·?,∴?=?=?=?,故
选D.3.(2017安徽江南十校3月联考,9)设△ABC的面积为S1,它的外接圆面积为S2,若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C
=3∶4∶5,则?的值为?()A.??B.??C.??D.?解析(1)∵(a+b+c)(sinB+sinC-sinA
)=bsinC,∴根据正弦定理,知(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.?(2分)∴由余弦定理,得co
sA=?=-?.?(4分)又A∈(0,π),所以A=?π.?(6分)(2)根据a=?,A=?π及正弦定理可得?=?=?=?=2,
∴b=2sinB,c=2sinC.∴S=?bcsinA=?×2sinB×2sinC×?=?sinBsinC.?(8分
)∴S+?cosBcosC=?sinBsinC+?cosBcosC=?cos(B-C).(10分)故当?即B=C=?时
,S+?cosBcosC取得最大值?.(12分)4.(2018河南信阳二模,17)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的
对边,且满足(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC.(1)求角A的大小;(2)设a=?,S为△ABC的
面积,求S+?cosBcosC的最大值.5.(2017湖南五市十校联考,17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的
对边,且acosC+?asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若AD为BC边上的中线,cosB=?,AD=?,求△ABC的
面积.?解析(1)acosC+?asinC-b-c=0,由正弦定理得sinAcosC+?sinAsinC=sin
B+sinC,即sinAcosC+?sinAsinC=sin(A+C)+sinC,亦即sinAcosC+?sin
AsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,则?sinAsinC-cosAsinC=sinC,
又sinC≠0,所以?sinA-cosA=1,所以sin(A-30°)=?.在△ABC中,0°-30°<150°,所以A-30°=30°,得A=60°.(2)在△ABC中,因为cosB=?,所以sinB=?.所以sin
C=sin(A+B)=?×?+?×?=?.由正弦定理得,?=?=?.设a=7x,c=5x(x>0),则在△ABD中,AD2=AB2
+BD2-2AB·BDcosB,即?=25x2+?×49x2-2×5x×?×7x×?,解得x=1(负值舍去),所以a=7,c=5
,故S△ABC=?acsinB=10?.B组2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:50分钟分值:60分)答案???
?A由acosB-bcosA=?c及正弦定理可得,sinA·cosB-sinBcosA=?sinC=?sin(A+
B)=?sinAcosB+?cosAsinB,即?sinAcosB=?sinBcosA,得tanA=5tanB
,从而可得tanA>0,tanB>0,∴tan(A-B)=?=?=?≤?=?,当且仅当?=5tanB,即tanB=?时取得
等号,∴tan(A-B)的最大值为?,故选A.一、选择题(每题5分,共30分)1.(2018山东济宁二模,12)在△ABC中,内角
A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB-bcosA=?c,则tan(A-B)的最大值为?()A.??B.??C.
??D.?思路分析由已知等式、正弦定理及三角函数公式可得tanA=5tanB,且tanB>0,tanA>0,利用两角差
的正切公式将tan(A-B)化为关于tanB的函数,结合基本不等式求其最大值.解题关键利用题中已知条件,正弦定理及三角函数公式
得出tanA=5tanB是解决本题的关键.2.(2018河南濮阳一模,11)已知△ABC中,sinA,sinB,sinC
成等比数列,则?的取值范围是?()A.??B.??C.(-1,?)????D.?答案?B由sinA,sinB,sin
C成等比数列,知a,b,c成等比数列,即b2=ac,∴cosB=?=?=?-?≥2?-?=?,当且仅当a=c时等号成立,可知B
∈?,设y=?=?,设sinB+cosB=t,则2sinBcosB=t2-1.由于t=sinB+cosB=?sin?,
B∈?,所以t∈(1,?],故y=?=?=?=t-?,t∈(1,?],因为y=t-?在t∈(1,?]上是增函数,所以y∈?.故选B
.思路分析由已知条件、余弦定理及基本不等式求得B的取值范围,利用三角关系式对所求代数式进行恒等变换,进而利用换元法及B的取值范围
求解.解题关键正确求出B的取值范围并合理换元是解决本题的关键.答案????A由题意可得,sinB+2sinCcosA=0
,即sin(A+C)+2sinCcosA=0,得sinAcosC=-3sinCcosA,即tanA=-3tanC.
又cosA=-?<0,所以A为钝角,于是tanC>0.从而tanB=-tan(A+C)=-?=?=?,由基本不等式,得?+3
tanC≥2?=2?,当且仅当tanC=?时等号成立,此时角B取得最大值,且tanB=tanC=?,tanA=-?,即b
=c,A=120°,又bc=1,所以b=c=1,a=?,故△ABC的周长为2+?.故选A.3.(2018安徽名校联盟4月联考,11
)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc=1,b+2ccosA=0,则当角B取得最大值时,△ABC的周长为?
()A.2+??B.2+??C.3????D.3+?一题多解由已知b+2ccosA=0,得b+2c·?=0,整理得2b
2=a2-c2.由余弦定理,得cosB=?=?≥?=?,当且仅当a=?c时等号成立,此时角B取得最大值,将a=?c代入2b2=a
2-c2可得b=c.又bc=1,所以b=c=1,a=?,故△ABC的周长为2+?.故选A.思路分析利用正弦定理及三角恒等变换得t
anA=-3tanC,进而利用两角和的正切公式得tanB的表达式,最后利用基本不等式求解.4.(2018山东日照二模,11)
如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=2,△ACD为正三角形,则△BCD面积的最大值为?()?A.2?+2???
?B.??C.?+2????D.?+1答案?D在△ABC中,设∠ABC=α,∠ACB=β,由余弦定理得:AC2=12+22-2
×1×2cosα,∵△ACD为正三角形,∴CD2=AC2=5-4cosα,S△BCD=?·2·CD·sin?=CD·sin?=
?CD·cosβ+?CD·sinβ,在△ABC中,由正弦定理得:?=?,∴AC·sinβ=sinα,∴CD·sinβ=s
inα,∴(CD·cosβ)2=CD2(1-sin2β)=CD2-sin2α=5-4cosα-sin2α=(2-cosα)
2,∵β<∠BAC,∴β为锐角,CD·cosβ=2-cosα,∴S△BCD=?CD·cosβ+?CD·sinβ=?·(2-
cosα)+?sinα=?+sin?,当α=?时,(S△BCD)max=?+1.方法指导设∠ABC=α,∠ACB=β,设法找
出α、β与CD的关系,进而将S△BCD表示成关于α的函数,从而求其最大值.方法总结在解决多个关联三角形问题时,应找出联系各三角形
的纽带,进而利用正、余弦定理进行转化,最终使问题得以解决.答案?B由正弦定理及2ccosB=2a+b,得2sinCcosB
=2sinA+sinB,因为A+B+C=π,所以sinA=sin(B+C),则2sinC·cosB=2sin(B+C)+
sinB,整理可得2sinB·cosC+sinB=0,又00,则cosC=-?,因为0,所以C=?,所以sinC=?,则△ABC的面积为?absinC=?ab=?c,即c=3ab,结合c2=a2+b2-2ab·c
osC,可得a2+b2+ab=9a2b2,∵a2+b2≥2ab,∴2ab+ab≤9a2b2,即ab≥?,故ab的最小值是?.故选
B.5.(2016福建漳州二模,11)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b,若△ABC的
面积为?c,则ab的最小值为?()A.??B.??C.??D.3思路分析由正弦定理、2ccosB=2a+b及三角恒等变换可
得C的值,进而利用三角形面积公式及已知条件得c与ab的关系,结合余弦定理及基本不等式得关于ab的不等式,由此即可得ab的最小值.答
案???B由?=?及正弦定理可得sinBcosA=sinA-sinAcosB,∴sin(A+B)=sinA,∴sin
C=sinA,又A,C∈(0,π),∴C=A,∴c=a,又b=c,∴△ABC是等边三角形,设该三角形的边长为x,则x2=12+
22-2×1×2×cosθ=5-4cosθ,则S四边形OACB=?×1×2sinθ+?x2=sinθ+?(5-4cosθ
)=2sin?+?,又θ∈(0,π),∴当θ=?时,S四边形OACB取得最大值?.故选B.6.(2017广东汕头一模,12)在△A
BC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足b=c,?=?,若点O是△ABC外一点,∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2
,OB=1,则四边形OACB面积的最大值是?(????)A.??B.??C.3????D.?解题关键分析出△ABC是等边三
角形,并将四边形OACB的面积表示成关于θ的函数是解决本题的关键.答案??或?解析∵A=?,且?-sin(B-C)=sin2
B,∴?=sin2B+sin(B-C),即sinA=sin2B+sin(B-C),又sinA=sin(B+C),∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosB+sinBcosC-cosBsinC,即cosBsinC=sinBcosB.当cosB=0时,可得B=?,C=?,∴S△ABC=?ac=?×2×2×tan?=?;当cosB≠0时,sinB=sinC,由正弦定理可知b=c,∴△ABC为等腰三角形,又∵A=?,∴a=b=c=2.∴S△ABC=?a2=?.综上可知△ABC的面积为?或?.二、填空题(每题5分,共5分)7.(2018广东七校3月联考,16)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,A=?,且?-sin(B-C)=sin2B,则△ABC面积为?.思路分析利用sinA=?及三角恒等变换化简已知等式,从而可得cosBsinC=sinBcosB,进而利用分类讨论思想及三角形的面积公式求得结果.一题多解由已知及A+B+C=π可得?-sin?=sin2B,即sin2B+sin?=?,∴sin2B-?cos2B-?sin2B=?,即sin?=?.∵A=?,∴0
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