高考文数(课标专用)§7.3基本不等式及不等式的应用自主命题·省(区、市)卷题组考点????基本不等式及其应用答案????C依题意知
a>0,b>0,则?+?≥2?=?,当且仅当?=?,即b=2a时,“=”成立.因为?+?=?,所以?≥?,即ab≥2?,所以ab的
最小值为2?,故选C.1.(2015湖南,7,5分)若实数a,b满足?+?=?,则ab的最小值为?()A.??B.2????
C.2??D.4答案????C设底面矩形的长和宽分别为am、bm,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=[
80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40?=160(当且仅当a=b时等号成立).故选C.3.(2014重庆,9
,5分)若log4(3a+4b)=log2?,则a+b的最小值是?()A.6+2??B.7+2??C.6+4??D.7+4?
答案????D由log4(3a+4b)=log2?,得3a+4b=ab,且a>0,b>0,∴a=?,由a>0,得b>3.∴a+b
=b+?=b+?=(b-3)+?+7≥2?+7=4?+7,即a+b的最小值为7+4?.2.(2014福建,9,5分)要制作一个容积
为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是?(
)A.80元?B.120元?C.160元?D.240元4.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=
0,则2a+?的最小值为?.解析本题主要考查运用基本不等式求最值.∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,∴2a+?=2a+2-3
b≥2?=2?=2?=?.当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+?取得最小值,为?.答案??易错警示利用基本不等
式求最值应注意的问题:(1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特
别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.5.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,
B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为?.解析本题考
查基本不等式及其应用.依题意画出图形,如图所示.?易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即?csin60°+?asin60°
=?acsin120°,∴a+c=ac,∴?+?=1,∴4a+c=(4a+c)?=5+?+?≥9,当且仅当?=?,即a=?,c=
3时取“=”.答案9一题多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,?∴?=?=?,∵DE∥CB,∴?=?=?=?
,∴?=??,?=??.∴?=??+??.∴?=?,∴1=?+?+2·?·?|?|·|?|×?,∴1=?,∴ac=a+c,∴?+?
=1,∴4a+c=(4a+c)?=5+?+?≥9,当且仅当?=?,即a=?,c=3时取“=”.一题多解2以B为原点,BD所在直线
为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,?则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A?,C?.∵A,D,C三点共线,∴?∥?,∴??+
?c?=0,∴ac=a+c,∴?+?=1,∴4a+c=(4a+c)?=5+?+?≥9,当且仅当?=?,即a=?,c=3时取“=”.
6.(2017山东,12,5分)若直线?+?=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为?.解析由题设可得?+?=
1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)?=2+?+?+2≥4+2?=8?.故2a+b的最小值为8.答案87.(2017江
苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运
费与总存储费用之和最小,则x的值是?.解析设总费用为y万元,则y=?×6+4x=4?≥240.当且仅当x=?,即x=30时,等
号成立.易错警示1.a+b≥2?(a>0,b>0)中“=”成立的条件是a=b.2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.
答案30答案??解析??x?y+(2y)?x=?+?=?=?=?+?,∵x>0,y>0,∴?+?≥2?=?,当且仅当?=?,即
x=?y时等号成立,故所求最小值为?.8.(2015山东,14,5分)定义运算“?”:x?y=?(x,y∈R,xy≠0).当x>0
,y>0时,x?y+(2y)?x的最小值为?.9.(2015重庆,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则?+?的最大值为?.解析
解法一:令t=?+?,则t2=(?+?)2=a+1+b+3+2?·?≤9+a+1+b+3=18,当且仅当?=?,即a=?,b=?
时,等号成立.即t的最大值为3?.解法二:设?=m,?=n,则m,n均大于零,因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+
n)2,所以m+n≤?·?,所以?+?≤?·?=3?,当且仅当?=?,即a=?,b=?时,“=”成立,所以所求最大值为3?.答案
3?解析∵b2+c2≥2bc,即2(b2+c2)≥b2+c2+2bc=(b+c)2,∴b2+c2≥?,由a+b+c=0,得b+
c=-a,由a2+b2+c2=1,得1-a2=b2+c2≥?=?,∴a2≤?,∴-?≤a≤?,故a的最大值为?.答案???教师专
用题组1.(2014浙江,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是?.2.(2014
辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,?+?+?的最小值为?.解析
由题意得c=4a2+b2-2ab=(2a+b)2-6ab.∵2ab≤?,当且仅当2a=b时取“=”,∴-6ab≥-3?,∴c=(
2a+b)2-6ab≥(2a+b)2-3?,即c≥?,∴|2a+b|≤2?,∴当且仅当2a=b时,|2a+b|有最大值2?,此时|
2a+2a|=2?,∴c=4a2,∴?+?+?=?+?+?=?+?=?-1≥-1,∴?+?+?的最小值为-1.评析本题考查基本不
等式及函数思想的应用,考查了分析问题、解决问题的能力和运算求答案-1解能力.灵活运用基本不等式是求解的关键.3.(2014湖北,
16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设
车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=?.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车
流量为?辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加?辆/小时.答案(1)1900(2)10
0解析(1)当l=6.05时,F=?,∴F=?=?≤?=1900,当且仅当v=?,即v=11时取“=”.∴最大车流量F为19
00辆/小时.(2)当l=5时,F=?=?,∴F≤?=2000,当且仅当v=?,即v=10时取“=”.∴最大车流量比(1)中的
最大车流量增加2000-1900=100辆/小时.评析本题考查了函数最值的求法及均值不等式的应用.答案????B由题意知
∠APB=90°,∴|PA|2+|PB|2=4,∴?≤?=2(当且仅当|PA|=|PB|时取等号),∴|PA|+|PB|≤2?,∴
|PA|+|PB|的最大值为2?.故选B.A组2016—2018年高考模拟·基础题组考点????基本不等式及其应用1.(201
8山西第一次模拟,5)若P为圆x2+y2=1上的一个动点,且A(-1,0),B(1,0),则|PA|+|PB|的最大值为?()
A.2????B.2??C.4????D.4?三年模拟答案????C∵正项等比数列{an}的公比为3,且aman=9?,∴
a2·3m-2·a2·3n-2=?·3m+n-4=9?=32?,∴m+n=6,又m,n∈N,∴?+?=?(m+n)?=?×?≥?
×?=?,当且仅当m=2n,即m=4,n=2时取等号.故选C.2.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,5)已知
正项等比数列{an}的公比为3,若aman=9?,则?+?的最小值等于?()A.1????B.??C.??D.?答案???
?B因为a>0,b>0,故2a+b≥2?(当且仅当2a=b时取等号).又因为2a+b=4,∴2?≤4?0?的最小值为?.故选B.4.(2016安徽合肥二模,4)若a,b都是正数,则??的最小值为?()A.7????B.8???
?C.9????D.10答案????C∵a,b都是正数,∴??=5+?+?≥5+2?=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C
.3.(2018山东高三天成第二次联考,7)若a>0,b>0且2a+b=4,则?的最小值为?()A.2????B.??C.4
????D.?5.(2017河南平顶山一模,6)若对于任意的x>0,不等式?≤a恒成立,则实数a的取值范围为?()A.a≥
??B.a>??C.a0,y>0,lg2x+lg
8y=lg2,则?+?的最小值是?()A.2????B.2??C.4????D.2?答案????C∵lg2x+lg
8y=lg2,∴lg(2x·8y)=lg2,∴2x+3y=2,∴x+3y=1.∵x>0,y>0,∴?+?=(x+3y)?=2
+?+?≥2+2?=4,当且仅当x=3y=?时取等号,所以?+?的最小值为4.故选C.答案????A由x>0,得?=?≤?=?,
当且仅当x=1时,等号成立.则a≥?,故选A.7.(2016安徽安庆二模,6)已知a>0,b>0,a+b=?+?,则?+?的最小值
为?()A.4????B.2??C.8????D.16解析由a>0,b>0,3a+b=2ab,得?+?=1,所以a+b=
(a+b)?=2+?+?≥2+?,当且仅当b=?a时等号成立,则a+b的最小值为2+?.答案????B由a>0,b>0,a+b=
?+?=?,得ab=1,则?+?≥2?=2?.当且仅当?=?,即a=?,b=?时等号成立.故选B.答案2+?思路分析由已知等
式通分变形可得ab=1,然后直接利用基本不等式求最值即可.8.(2018山东聊城一模,15)已知a>0,b>0,3a+b=2ab,
则a+b的最小值为?.答案????B由m⊥n,得m·n=0,即4(a-1)+2b=0,∴2a+b=2,∴2≥2?,∴ab≤?(当
且仅当2a=b时,等号成立),而lo?a+log3?=lo?a+lo?b=lo?ab≥lo??=log32,即lo?a+log3?
有最小值log32,故选B.B组??2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:30分钟分值:50分)一、选择题(每小题5分
,共25分)1.(2018江西师范大学附属中学4月月考,11)若向量m=(a-1,2),n=(4,b),且m⊥n,a>0,b>0,
则lo?a+log3?有?()A.最大值log3??B.最小值log32C.最大值-lo???D.最小值0答案????B若
|?|≤k恒成立,则|?|max≤k,因为向量?=λ?(0<λ<1),所以N在线段AB上,由函数y=x+?,x∈[1,2]可得A(
1,2),B?,∴直线AB的方程为y=?(x+3),由M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中x=λa+(1-λ)b(0<λ<1
),向量?=λ?,可得xN=λa+(1-λ)b=x,所以|?|=|yM-yN|=?=?,∵?+?≥2?=?,且?+?≤?,∴|?|
=?=?-?≤?-?,即|?|的最大值为?-?,∴k≥?-?,故选B.2.(2018河南普通高中毕业班4月高考适应性考试,12)定
义域为[a,b]的函数y=f(x)的图象的两个端点分别为A(a,f(a)),B(b,f(b)),M(x,y)是f(x)图象上任
意一点,其中x=λa+(1-λ)b(0<λ<1),向量?=λ?.若不等式|?|≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上为“k函数
”.若函数y=x+?在[1,2]上为“k函数”,则实数k的取值范围是?()A.[0,+∞)????B.?C.[1,+∞)?
???D.?答案????B?f(x)=?=x+?,∵x∈N>0,∴x+?≥2?=2?,当且仅当x=?时取等号.但x∈N,故x
=5或x=6时,f(x)取最小值,当x=5时,f(x)=?,当x=6时,f(x)=?,故f(x)在定义域上的最小值为?.故选
B.3.(2017广东深圳三校联考,9)已知f(x)=?(x∈N),则f(x)在定义域上的最小值为?()A.??B.??C.
??D.2?答案????C∵x,y均为正实数,且?+?=?,则x+y=(x+2+y+2)-4=6?(x+2+y+2)-4=6?
-4≥6×?-4=20,当且仅当x=y=10时取等号.∴x+y的最小值为20.故选C.4.(2017河南许昌二模,8)已知x,y均
为正实数,且?+?=?,则x+y的最小值为?()A.24????B.32????C.20????D.28方法总结本题根
据条件构造x+y=(x+2+y+2)-4,然后乘“6”变形,即可形成所需应用基本不等式的条件.答案????D因为二次三项式ax2
+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,所以?又?x0∈R,a?+2x0+b=0成立,所以4-4ab≥0,故4-4ab=0,即ab=1
,又因为a>0,a>b,所以?=a-b+?=a-b+?≥2?(当且仅当a-b=?时等号成立),故选D.5.(2017河北衡水中学第
三次调研,9)已知a>b,二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又?x0∈R,a?+2x0+b=0成立,则?的最小值
为?()A.1????B.??C.2????D.2?二、填空题(每小题5分,共25分)6.(2018天津十二所重点中学毕
业班联考,13)已知a,b∈R,且a是2-b与-3b的等差中项,则?的最大值为?.解析∵a是2-b与-3b的等差中项,∴2a=2
-b-3b,可得a+2b=1,当ab<0时,?<0;当ab>0时,?>0,所以要使?有最大值,则ab>0,不妨设a>0,b>0(a
<0,b<0时一样),则?=?=?=?≤?=?=?,当且仅当?=?时,等号成立,即?的最大值为?,故答案为?.答案??7.(20
18河南八校第一次测评,15)已知等差数列{an}中,a3=7,a9=19,Sn为数列{an}的前n项和,则?的最小值为?.解析
∵a3=7,a9=19,∴d=?=?=2,∴an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,∴Sn=?=n(n+2),因此?
=?=??≥?×2?=3,当且仅当n=2时取等号.故?的最小值为3.答案38.(2018天津滨海新区七所重点学校联考,13)若正
实数x,y满足x+2y=5,则?+?的最大值是?.解析∵x,y为正实数,∴?+?=?+2y-?=x+1-2+2y-?=x+2y-
1-??(x+1+2y)=4-??≤4-?×(4+2?)=?,当且仅当x+1=2y,即x=2,y=?时,取等号,则?+?的最大值是
?.答案??解题关键将题中的式子进行整理,将x+1看作一个整体,然后应用基本不等式求最值,解决该题的关键是需要对式子进行化简、
转化,利用整体思想,同时满足“一正,二定,三相等”.9.(2017湖北新联考四模,15)已知函数f(x)=?若f(a)=f(b)(
0b)=0,即ab=1,则?+?=?=4a+b≥2?=4,当且仅当b=4a时,?+?取得最小值,由?可得a=?,b=2,∴f(a+b
)=f?=lg?=1-2lg2.关键点拨根据函数的性质可得ab=1,再根据基本不等式得到?+?取得最小值时a,b的值,再代值计算即可.答案1-2lg210.(2017江西南昌二模,16)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-?.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是?万元.解析由题意知t=?-1(1
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