高考理数(课标专用)§9.2直线、圆的位置关系方法总结与圆有关的最值问题的解题方法(1)与圆有关的长度或距离的最值问题,一般利用圆的
几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法.①形如u=?的最值问题,可转化为过点(a,b)和
点(x,y)的直线的斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)
2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.考点直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2018课标Ⅲ,6,5分)直线x+y
+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是?()A.[2,6]??
??B.[4,8]????C.[?,3?]????D.[2?,3?]答案????A本题考查直线与圆的位置关系.由圆(x-2)
2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r=?,△ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为d,则有S=?|AB|·d.易知|
AB|=2?,dmax=?+?=3?,dmin=?-?=?,所以2≤S≤6,故选A.A组??统一命题·课标卷题组五年高考答案???
?A本题主要考查双曲线的方程和性质,直线与圆的位置关系.由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线?-?=1的渐近线方
程为y=±?x,即bx±ay=0,且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以?=?,所以?=?.故离心率e=?=2.选A.2
.(2017课标Ⅱ,9,5分)若双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C
的离心率为?()A.2????B.??C.??D.?3.(2015课标Ⅱ,7,5分,0.688)过三点A(1,3),B(4
,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=?()A.2??B.8????C.4??D.10答案????C设
圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=?=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|
PA|=?=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2?,则|MN|=|(-2+2?)-(-2
-2?)|=4?.思路分析根据圆的几何性质及已知条件求得圆心,从而求得半径,写出圆的标准方程,令x=0,求出y,进而可得|MN|
的值.导师点睛在解决有关圆的问题时,注意多考虑圆的几何性质的应用,从而简化运算过程.4.(2016课标Ⅲ,16,5分)已知直线l
:mx+y+3m-?=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2?,则|CD
|=?.解析由题意可知直线l过定点(-3,?),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,?),由于|AB|=2?,r=2
?,所以圆心到直线AB的距离为d=?=3,又由点到直线的距离公式可得d=?,∴?=3,解得m=-?,所以直线l的斜率k=-m=?,
即直线l的倾斜角为30°.如图,过点C作CH⊥BD,垂足为H,所以|CH|=2?,在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|
=?=4.?思路分析由弦长|AB|=2?及圆的半径可知圆心到直线的距离为3,利用点到直线的距离公式可得?=3,进而求得m值,得
到直线l的倾斜角,从而可利用平面几何知识在梯形ABDC中求得|CD|.答案45.(2014课标Ⅱ,16,5分,0.293)设点M
(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是?.解析解法一:当x0=0时,M(0,
1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B
.若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0-1≤x0≤1.?解法二:过O作OP⊥MN,P为垂足,则OP=OM·sin45°≤1,∴OM≤?,答案[-1,1]∴OM2≤2
,∴?+1≤2,∴?≤1,∴-1≤x0≤1.?思路分析解法一:利用切线的性质及数形结合思想得出x0的取值范围;解法二:过O作O
P⊥MN(垂足为P),在Rt△OPM中利用三角函数的定义得出OP与OM的关系,利用OP的范围得出OM的范围,从而求得x0的取值范围
.B组??自主命题·省(区、市)卷题组考点一两条直线的位置关系1.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y
=ax2+?(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是?.解析由y=
ax2+?得y''=2ax-?,由题意可得?解得?(经检验满足题意).∴a+b=-3.答案-32.(2014四川,14,5分)设m
∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是?.解析
易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤?=5(当且仅当
|PA|=|PB|时取“=”).答案5答案????C本题主要考查点到直线的距离.解法一:由点到直线的距离公式得d=?,cos
θ-msinθ=??,令sinα=?,cosα=?,∴cosθ-msinθ=?sin(α-θ),∴d≤?=?=1+?,∴
当m=0时,dmax=3,故选C.解法二:∵cos2θ+sin2θ=1,∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆,又x-my-2=0表示
过点(2,0)且斜率不为0的直线,考点二直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2018北京,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(
cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为?()A.1????B.2????C.3
????D.4如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.故选C.导师点睛解法一:利用点到直线的距离公式求最值.
解法二:首先得出P点的轨迹是单位圆,x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,然后利用数形结合思想轻松得到答案.答案?
???A切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得?=?,解得c=±5.故选A.3
.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a
)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=?()A.2????B.4??C.6????D.2?答案????C圆C的标准
方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1
=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=?=?=6.故选C.2.(2015广东,5,5分)平行于
直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是?()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0????B.2x+y+
?=0或2x+y-?=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0????D.2x-y+?=0或2x-y-?=0答案????A由题
意得以AB为直径的圆C过原点O,圆心C为AB的中点,设D为切点,要使圆C的面积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD最小,其最小
值为OE(过原点O作直线2x+y-4=0的垂线,垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=?.∴圆C面积的最小值为π?=?π.
故选A.?4.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-
4=0相切,则圆C面积的最小值为?()A.?πB.?πC.(6-2?)πD.?π评析本题考查了直线和圆的位置关系
.考查了数形结合的思想方法.利用圆的性质和点到直线的距离公式得到圆的直径的最小值为OE的长度是求解的关键.5.(2018江苏,12
,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若
?·?=0,则点A的横坐标为?.解析本题考查直线与圆的位置关系.设A(a,2a),a>0,则C?,∴圆C的方程为?+(y-a)2
=?+a2,由?得?∴?·?=(5-a,-2a)·?=?+2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a>0,∴a=3,∴点A的横坐标
为3.答案3一题多解由题意易得∠BAD=45°.设直线DB的倾斜角为θ,则tanθ=-?,∴tan∠ABO=-tan(θ-4
5°)=3,∴kAB=-tan∠ABO=-3.∴AB的方程为y=-3(x-5),由?得xA=3.?解析由mx-y-2m-1=0
可得m(x-2)=y+1,易知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为?=?,故所求
圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.解析易知△ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为?,即?=?,
解得a=4±?.经检验均符合题意,则a=4±?.6.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2
+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=?.答案4±?7.(2015江苏,10,5分)在平面直角
坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为?.答案(x
-1)2+y2=28.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四
段弧,则a2+b2=?.解析由题意知直线l1和l2与单位圆C所在的位置如图.因此?或?故a2+b2=1+1=2.?答案2评析
本题考查了直线和圆的位置关系,考查了直线的斜率和截距,考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出a和b的值是解题的关键.9.(2
017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若?·?≤20,
则点P的横坐标的取值范围是?.解析本题考查平面向量数量积及其应用,圆的方程的应用及圆与圆的相交.解法一:设P(x,y),则由?·
?≤20可得,(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,即(x+6)2+(y-3)2≤65,所以P为圆(x+6)2+(y-
3)2=65上或其内部一点.又点P在圆x2+y2=50上,联立得?解得?或?即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),?
答案[-5?,1]易知-5?≤x≤1.解法二:设P(x,y),则由?·?≤20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤
20,即x2+12x+y2-6y≤20,由于点P在圆x2+y2=50上,故12x-6y+30≤0,即2x-y+5≤0,∴点P为圆x
2+y2=50上且满足2x-y+5≤0的点,即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),?同解法一,可得N(1,7),M(
-5,-5),易知-5?≤x≤1.C组????教师专用题组答案????B(1)当直线y=ax+b与AB、BC相交时,如图①所示.
?图①易求得:xM=-?,yN=?.考点一两条直线的位置关系(2013课标Ⅱ,12,5分,0.408)已知点A(-1,0),B(
1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是?()A.(0,1)B.
?C.??D.?由已知条件得:?·?=1,∴a=?.∵点M在线段OA上,∴-1<-?<0,∴0?<1,∴b<1.由?解得?(2)可得:1-??且m≠n.∴?≤m≤?且m≠1.设D到AC、BC的距离为t,则?=?,?=?,∴?+?=?+?=1.∴t=?,∴?=?+?=?+
m.而f(m)=m+??的值域为?,即20,所以直线l可能与A
B、BC相交,也可能与AC、BC相交,因此应进行分类讨论.根据题意在每类情况下构造关于b的不等式进行求解.答案????A?如图,圆
心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又kAB·kPC=-1,且kPC=?=?,∴kAB=-2.?故直线AB的方程为y-1=-2
(x-1),即2x+y-3=0,故选A.考点二直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2013山东,9,5分)过点(3,1)作圆(x-1
)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为?()A.2x+y-3=0????B.2x-y-3=0C.4x
-y-3=0????D.4x+y-3=02.(2013重庆,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-
3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为?()A.5?-4
????B.?-1????C.6-2??D.?答案????A圆C1,C2如图所示.若取P是x轴上某一点,则|PM|的最小值
为|PC1|-1,同理,|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.由以上分析知原
问题可转化为求|PC1|+|PC2|-4(P为动点)的最小值.作C1关于x轴的对称点C''1(2,-3),连接C''1C2,与x轴交于
点P,连接PC1,易知|PC1|+|PC2|的最小值为|C''1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5?-4.选A.评析???本题
考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识,同时又考查了数形结合思想、转化思想.把折线段长的和转化成两点间的距离是本题的关键.3.(2
015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取
值范围;若不存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0)
.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),则x0=?,y0=?.由题意可知直线l的斜率必存在,
设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得Δ=36-20(1+t2)
>0(),x1+x2=?,所以x0=?,代入直线l的方程,得y0=?.因为?+?=?+?=?=?=3x0,所以?+?=?.由(
)解得t2?上的一段圆弧.如图,D?,E?,F(3,0),直线L过定点G(4,0).联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)
x2-(3+8k2)x+16k2=0.令判别式Δ=0,解得:k=±?,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I=?∈?,由图可知:要使
直线L与曲线C只有一个交点,则k∈[kDG,kEG]∪{kGH,kGI},即k∈?∪?.?4.(2013江苏,17,14分)如图
,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上
,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.?解析(1)由题意知
,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx
+3,由题意得,?=1,解得k=0或-?,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆
C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以?=2?,化简得x2+y2+2y-3=
0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公
共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤?≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤?.所以点C的
横坐标a的取值范围为?.考点一两条直线的位置关系1.(2018广东江门4月模拟,3)已知三条直线l1:4x+y=1,l2:x-y
=0,l3:2x-my=3,若l1关于l2对称的直线与l3垂直,则实数m的值是?()A.-8????B.-??C.8???
?D.?答案????D易知直线l1:4x+y=1关于直线l2:x-y=0对称的直线方程为x+4y=1,又l3:2x-my=3,
故由题意得1×2+4×(-m)=0,∴m=?,故选D.A组2016—2018年高考模拟·基础题组三年模拟2.(2018河南顶级
名校第二次联考,6)已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则?的最小值为?()A.??B.??C.1
????D.?答案????C此题可理解为点A(m,n)和点B(a,b)分别在直线l1:3x+4y=6与l2:3x+4y=1上,
求A、B两点距离的最小值,|AB|=?,因为l1∥l2,所以|AB|min=?=1,故选C.3.(2018河北五个一联盟联考,3)
已知直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是l1平行于l2的?()A.充分不必要条件??
??B.必要不充分条件C.充分必要条件????D.既不充分也不必要条件答案????C当m=2时,直线l1:2x-2y+1=0,
直线l2:x-y-1=0,此时直线l1与l2平行,所以充分性成立;当l1∥l2时,-m(m-1)+2=0,即m2-m-2=0,∴m
=2或m=-1,经检验m=-1时,直线l1与直线l2重合,故l1∥l2时,m=2,故必要性成立.综上,“m=2”是l1平行于l2的
充分必要条件,故选C.4.(2017湖北十堰模拟,18)已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l
3:x+y-1=0,且两平行直线l1与l2间的距离是?.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是
第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的?;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?∶?.若能,求P点坐标;若不能
,说明理由.解析(1)l2的方程可化为2x-y-?=0,∴l1与l2间的距离d=?=?,∴?=?,∴?=?,∵a>0,∴a=3.
(2)能.假设存在满足题意的P点.设点P(x0,y0),因为P点满足条件②,所以P点在与l1、l2平行的直线l'':2x-y+C=0
上,其中C满足?=?×?,C≠3且C≠-?,则C=?或C=?,∴2x0-y0+?=0或2x0-y0+?=0.因为P点满足条件③,所
以由点到直线的距离公式得?=?×?,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.∵P点在第
一象限,∴3x0+2=0不满足题意.由?解得?(舍去).由?解得?∴存在满足题意的P点,且P点的坐标为?.名师点拨用点到直线的距
离公式时,要注意将直线方程化为一般式;用两平行线间的距离公式时,直线方程要化为一般式,同时要使x,y前的系数对应相同.答案????
B连接O1A、O2A,由于☉O1与☉O2在点A处的切线互相垂直,因此O1A⊥O2A,所以O1?=O1A2+O2A2,即m2=5+
20=25,设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中,sin∠AO2O1=?,∴在Rt△ACO2中,AC=AO2·sin∠AO2O
1=2?×?=2,∴AB=2AC=4.故选B.?考点二直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2018湖北四地七校3月联考,8)若圆O
1:x2+y2=5与圆O2:(x+m)2+y2=20相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是?()A
.3????B.4????C.2??D.8答案????B由题意得,原点到直线x+y=2k的距离d=?≤?,且k2-2k+3>
0,解得-3≤k<1,因为2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,所以当k=-3时,a
b取得最大值9.故选B.2.(2018山西太原五中4月模拟,8)已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-
2k+3的公共点,则ab的最大值为?()A.15????B.9????C.1????D.-?答案????A由题意可得
a·b=6cosαcosβ+6sinα·sinβ=|a|·|b|×cos120°=2×3×?=-3,所以圆心(cosβ
,-sinβ)到直线6xcosα-6ysinα+1=0的距离d=?=?=?<1,故直线与圆的位置关系是相交且不过圆心,故选A
.3.(2017河北衡水中学调研考试,5)已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),若a与b
的夹角为120°,则直线6xcosα-6ysinα+1=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1的位置关系是?(
)A.相交且不过圆心????B.相交且过圆心C.相切?D.相离答案????A因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为
(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以?=2?,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2
+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|
2-1|≤CD≤2+1,即1≤?≤3.由?≥1得5a2-12a+8≥0,解得a∈R;由?≤3得5a2-12a≤0,解得0≤a≤?.
所以点C的横坐标a的取值范围为?.故选A.4.(2017安徽芜湖六校联考,9)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y
=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使MA=2MO,则圆心C的横坐标a的取值范围是()A.??B.[0
,1]????C.??D.?答案??解析设直线上一点为P,切点为Q,圆心为M,则|PQ|即切线长,|MQ|为圆M的半径,所
以|PQ|=?=?.要使|PQ|最小,需|PM|最小,设圆心M到直线y=x+1的距离为d,则d=?=2?,所以|PM|的最小值为2
?.所以|PQ|=?≥?=?.则切线长的最小值为?.5.(2018山西晋中二模,14)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y
2=1引切线,则切线长的最小值为?.6.(2018河北五个一名校联考,15)在圆x2+y2=4上任取一点,则该点到直线x+y-2?
=0的距离d∈[0,1]的概率为?.解析圆心(0,0)到直线x+y-2?=0的距离为?=2,则直线x+y-2?=0与圆x2+y2
=4相切,设直线x+y+m=0与直线x+y-2?=0的距离为1,则?=1,所以m=-?或m=-3?.当m=-3?时,直线x+y-3
?=0与圆无交点;当m=-?时,如图所示,设直线x+y-?=0与圆交于A,B两点,易知满足题意的点在?上,连接OA、OB,过点O作
OD⊥AB,可得sin∠OAD=?=?,∴∠OAD=30°,则∠AOB=180°-30°×2=120°,由几何概型的概率公式可得所
求概率P=?=?.答案??B组??2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:35分钟分值:50分)一、选择题(每题5分,
共25分)答案????B当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,联立得方程组?解得?或?∴|AB|=2?,符合题意.当直线
l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,∵圆x2+y2-2x-2y-2=0即(x-1)2+(y-1)2=4,∴圆心为C(1,
1),圆的半径r=2,易知圆心C(1,1)到直线y=kx+3的距离d=?=?,∵d2+?=r2,∴?+3=4,解得k=-?,∴直线
l的方程为y=-?x+3,即3x+4y-12=0.综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=0.故选B.1.(2018安徽合肥
一模,8)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2?,则直线l的方
程为?()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0 B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0 D.3
x-4y+12=0或4x+3y+9=0思路分析?当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意;当直线l的斜率存在时,设出直线AB的方程,
求出圆心到直线的距离d,利用d2+?=r2求得直线的斜率,从而得出直线方程.方法点拨圆的弦长的常用求法(1)几何法:求圆的半径r
,弦心距d,则弦长l=2?;(2)代数法:列方程组,并消元,运用根与系数的关系及弦长公式:|AB|=?|x1-x2|(k为直线AB
的斜率,x1、x2分别为A、B的横坐标)求解.2.(2018河南郑州外国语中学3月调研,9)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和
圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则?+?的最小值为?()A.2????B.4????
C.8????D.9思路分析由题意可得两圆内切,根据两圆的标准方程求出圆心和半径,利用两圆内切的性质可得4a2+b2=1,再利
用“1”的代换及基本不等式即可求得?+?的最小值.答案????D由题意可知,圆C1的圆心为(-2a,0),半径为2,圆C2的圆心
为(0,b),半径为1,因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以?=2-1,即4a2+b2=1.所以?+?=?·(4a2+b2)
=5+?+?≥5+2?=9,当且仅当?=?,且4a2+b2=1,即a2=?,b2=?时等号成立,所以?+?的最小值为9.故选D.解
题关键根据两圆的内切关系得到4a2+b2=1及合理利用“1”的代换是解决本题的关键.3.(2018河南中原名校4月联考,11)已
知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A,B,以线段AB为直径的圆E上存在点P,Q,使得以PQ为
直径的圆过点D(-2,t),则实数t的取值范围为?()A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.[-1,3]C.(-∞,2-?]∪[
2+?,+∞)D.[2-?,2+?]疑难突破设过D点的两直线分别切圆E于点P‘、Q'',要满足题意,只需∠P''OQ''≥?,则∠P''
DE≥?.答案????D由题意可得直线AB的方程为x=y+1,与y2=4x联立消去x,可得y2-4y-4=0,设A(x1,y1)
,B(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=-4,设E(xE,yE),则yE=?=2,xE=yE+1=3,又|AB|=x1+x
2+2=y1+1+y2+1+2=8,所以圆E是以(3,2)为圆心,4为半径的圆,所以点D恒在圆E外.圆E上存在点P,Q,使得以PQ
为直径的圆过点D(-2,t)即圆E上存在点P,Q,使得DP⊥DQ,设过D点的两直线分别切圆E于P'',Q''点,要满足题意,则∠P''D
Q''≥?,所以?=?≥?,整理得t2-4t-3≤0,解得2-?≤t≤2+?,故实数t的取值范围为[2-?,2+?],故选D.解题关
键???正确理解圆E上存在两点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点D,并合理转化成关于t的不等式是解决本题的关键.4.(2016福建福
州八中六模,5)已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则a的取值范围为?()A.(-3?,
3?)????B.(-∞,-3?)∪(3?,+∞)C.(-2?,2?)????D.[-3?,3?]答案????A由圆的方程可
知圆心为O(0,0),半径为2,因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d=?<3,解得a∈(-3?,3?),故选A.思路分析由题意得圆心(0,0)到直线l的距离d满足:d<3.利用点到直线的距离公式列
出关于a的不等式,进而可解得a的范围.解题关键根据题意找出圆心到直线l的距离d满足的条件是解题的关键.答案????D由已知可得
圆心到直线2ax+by-2=0的距离d=?,则直线被圆截得的弦长为2?=2?,化简得4a2+b2=4.∴t=a?=?·(2?a)·
?≤?[(2?a)2+(?)2]=?(8a2+2b2+1)=?,当且仅当?时等号成立,即t取最大值,此时a=?(舍负).故选D.5
.(2017河北石家庄一模,9)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2?,则t=a?取得最大值时
a的值为?()A.??B.??C.??D.?方法点拨在解直线与圆相交的弦长问题时,经常采用几何法.当直线与圆相交时,半径长
、半弦长、弦心距所构成的直角三角形在解题中起到关键作用,解题时要注意将它和点到直线的距离公式结合起来使用.解析(1)设☉H的方程
为(x-m)2+(y-n)2=r2(r>0),因为☉H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四部分,所以圆心H(m,n
)一定是两互相垂直的直线x-y-1=0,x+y-3=0的交点,易得交点坐标为(2,1),所以m=2,n=1.?(2分)又☉H截x轴
所得线段的长为2,所以r2=12+n2=2.所以☉H的方程为(x-2)2+(y-1)2=2.?(5分)(2)设N(x0,y0),由
题意易知点M是PN的中点,所以M?.因为M,N两点均在☉H上,所以(x0-2)2+(y0-1)2=2,①?+?=2,二、解答题(共
25分)6.(2018河北武邑中学4月模拟,20)已知☉H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四部分,且截x轴所得线
段的长为2.(1)求☉H的方程;(2)若存在过点P(a,0)的直线与☉H相交于M,N两点,且|PM|=|MN|,求实数a的取值范围
.整理可得2≤a2-4a+5≤18,解得2-?≤a≤1或3≤a≤2+?,所以实数a的取值范围是[2-?,1]∪[3,2+?].?(
12分)即(x0+a-4)2+(y0-2)2=8,②?(7分)设☉I:(x+a-4)2+(y-2)2=8,由①②知☉H与☉I:(x
+a-4)2+(y-2)2=8有公共点,从而2?-?≤|HI|≤2?+?,?(9分)即?≤?≤3?,思路分析?(1)先设出圆的标准方程,然后结合已知得到圆心坐标,最后由弦长求出半径即可;(2)先设出点N的坐标,依据M是PN的中点,得到点M的坐标,将N、M代入圆H的方程,进而得两相应圆有公共点,由此建立关于a的不等式,求解即可.解析(1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,圆心为(-1,2),半径为?,易知切线斜率存在.∵圆C的切线在两坐标轴上的截距相等,∴①当截距不为零时,直线斜率为-1,可设切线的方程为y=-x+b,∴?=?,解得b=-1或b=3,故切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.?(3分)②当截距为零时,可设切线的方程为y=kx,即kx-y=0,∴?=?,解得k=2+?或k=2-?,故切线的方程为y=(2+?)x或y=(2-?)x,综上可知,切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0或y=(2+?)x或y=(2-?)x.(6分)7.(2017豫北名校联考,19)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值时点P的坐标.(2)∵|PM|=|PO|,∴|PO|取最小值时,|PM|取最小值,∵切线PM与半径CM垂直,∴|PM|2=|PC|2-|CM|2,又|PM|=|PO|,∴|PC|2-|CM|2=|PO|2,∴(x1+1)2+(y1-2)2-2=?+?,∴2x1-4y1+3=0,即点P(x1,y1)在直线2x-4y+3=0上,∴|PO|的最小值等于点O到直线2x-4y+3=0的距离d.故|PO|取得最小值时,|PO|2=?+?=d2=?=?,?(9分)∴?解得?∴所求P点坐标为?.?(13分)思路分析(1)利用待定系数法设出切线方程,然后利用圆心到切线的距离等于半径求出待定系数即可;(2)先利用|PM|=|PO|求出点P的轨迹,然后再将|PM|的最小值转化为P点轨迹上的点到原点距离的最小值,由此即可求解. |
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