高考理数(课标专用)§10.1椭圆及其性质考点一椭圆的定义和标准方程1.(2014课标Ⅰ,20,12分,0.433)已知点A(0,-
2),椭圆E:?+?=1(a>b>0)的离心率为?,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为?,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)
设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.A组??统一命题·课标卷题组五年高考解析(1)设F(
c,0),由条件知,?=?,得c=?.又?=?,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为?+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合
题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入?+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12
=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>?时,x1,2=?.从而|PQ|=?|x1-x2|=?.又点O到直线PQ的距离d=?,
所以△OPQ的面积S△OPQ=?d·|PQ|=?.设?=t,则t>0,S△OPQ=?=?.因为t+?≥4,当且仅当t=2,即k=±
?时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=?x-2或y=-?x-2.思路分析(1)通过直线AF的斜
率求得c的值,通过离心率求得a,进而求出b2,从而得到E的方程;(2)设出直线l的方程和点P、Q的坐标,联立直线l与椭圆方程,利用
弦长公式求得|PQ|的长,根据点到直线的距离公式求得△OPQ边PQ上的高,从而表示出△OPQ的面积,利用换元法和基本不等式即可得到
当面积取得最大值时k的值,从而得直线l的方程.解题关键对于第(2)问,正确选择参数,表示出△OPQ的面积,进而巧妙利用换元法分析
最值是解题的关键.2.(2014课标Ⅱ,20,12分,0.185)设F1,F2分别是椭圆C:?+?=1(a>b>0)的左,右焦点,
M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为?,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上
的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据c=?及题设知M?,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=
3ac,解得?=?或?=-2(舍去).故C的离心率为?.(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴
的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故?=4,即b2=4a.?①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,
y1),由题意知y1<0,则?即?代入C的方程,得?+?=1.?②将①及c=?代入②得?+?=1.解得a=7,故b2=4a=28,
故a=7,b=2?.答案????D本题考查直线方程和椭圆的几何性质.由题意易知直线AP的方程为y=?(x+a),①直线PF2的方
程为y=?(x-c).②联立①②得y=?(a+c),考点二椭圆的几何性质1.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C
:?+?=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为?的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=12
0°,则C的离心率为?()A.??B.??C.??D.?所以sin60°=?=?=?,即a+c=5c,即a=4c,所以e=
?=?.故选D.如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=?(a+c).?因为∠PF2H=60°,PF2=F1F2=2c,PH=?
(a+c),解题关键通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键.答案????A本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系.以线段
A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴?=a,即2b=?,∴a2=3b2,∵a2=b
2+c2,∴?=?,∴e=?=?.方法技巧椭圆离心率的求法:(1)定义法:根据条件求出a,c,直接利用公式e=?求解.(2)方程
法:根据已知条件建立关于a,b,c的齐次式,然后转化为关于e的方程求解.注意要根据e的范围取舍方程的解.2.(2017课标Ⅲ,10
,5分)已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相
切,则C的离心率为?()A.??B.??C.??D.?3.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:?+?
=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点
E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为?()A.??B.??C.??D.?答案????A由题意知过点A的直线l的斜率
存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c
)),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N?,由于B,M,N三点共线,所以kBN=kBM,即?=?,所以?=?,即a=3c
,所以e=?.故选A.?思路分析根据题意设出过点A的直线l的方程,从而求出点M和点E的坐标,进一步写出线段OE中点的坐标,利用
三点共线建立关于a,c的方程,得到a,c的关系式,从而求出椭圆的离心率.求解本题的关键在于写出各对应点的坐标,难点在于参数的选择.
方法点拨求解圆锥曲线的离心率问题的关键是要通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从而利用e=?求得离心率.4.(2018课标Ⅲ,
20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:?+?=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-?
;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且?+?+?=0.证明:|?|,|?|,|?|成等差数列,并求该数列的公差.解析本题考查
椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则?+?=1,?+?=1
.两式相减,并由?=k得?+?·k=0.由题设知?=1,?=m,于是k=-?.?①由题设得0(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3
-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=?,从而P?,|?|=?.于是|?|=?=?=2-
?.同理,|?|=2-?.所以|?|+|?|=4-?(x1+x2)=3.故2|?|=|?|+|?|,即|?|,|?|,|?|成等差
数列.设该数列的公差为d,则2|d|=||?|-|?||=?|x1-x2|=??.?②将m=?代入①得k=-1.所以l的方程为y=
-x+?,代入C的方程,并整理得7x2-14x+?=0.思路分析(1)利用“点差法”建立k与m的关系式,由m的范围得到k的范围.
(2)根据题设?+?+?=0及点P在C上,确定m的值.进一步得出|?|、|?|、|?|的关系,再求公差.故x1+x2=2,x1x2
=?,代入②解得|d|=?.所以该数列的公差为?或-?.解后反思(1)解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程
联立,消元、化简,然后利用根与系数的关系建立方程(组),解决相关问题.(2)题中涉及弦的中点坐标时,可以采用“点差法”求解,设出弦
端点A、B的坐标,分别代入圆锥曲线方程并作差,变形后可出现弦AB的中点坐标和直线AB的斜率.答案????A由题意及椭圆的定义知4
a=4?,则a=?,又?=?=?,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为?+?=1,选A.B组??自主命题·省(区、市)卷题组考点一
椭圆的定义和标准方程1.(2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为?,过
F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4?,则C的方程为?()A.?+?=1????B.?+y2=1????C
.?+?=1????D.?+?=1答案??x2+?y2=1解析不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2
=1-b2,00).由|AF1|=3|F1B|,得?=3?,进而可得B?,代入x2+?=1得?+?=1,又c2=1-
b2,∴b2=?.故椭圆E的方程为x2+?y2=1.2.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+?=1(0<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为?.3.(201
5陕西,20,12分)已知椭圆E:?+?=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为?c.
(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=?的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.
?解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=?=?,由d=?c,得a=2
b=2?,可得离心率?=?.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的
中点,且|AB|=?.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(
2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-?,x1x2=?.由x1+x2=-4,得-?=-4
,解得k=?.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=?|x1-x2|=??=?.由|AB|=?,得?=?,解得b2=3.故椭圆E
的方程为?+?=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB
|=?.设A(x1,y1),B(x2,y2),则?+4?=4b2,?+4?=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2
,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,所以AB的斜率kAB=?=?.因此直线AB的方程
为y=?(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=?|x1-x
2|=??=?.由|AB|=?,得?=?,解得b2=3.故椭圆E的方程为?+?=1.解题关键对于第(2)问,利用弦长及韦达定理或
点差法构造关于参数的方程是解题的关键.4.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为?+?=1(a>b>0),点O为坐标原点,
点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为?.(1)求E的离心率
e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为?,求E的方程.解析(1)由题设条件
知,点M的坐标为?,又kOM=?,从而?=?.进而得a=?b,c=?=2b.故e=?=?.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,
直线AB的方程为?+?=1,点N的坐标为?.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为?,则线段NS的中点T的坐标为?.又点T在直线AB
上,且kNS·kAB=-1,从而有?解得b=3.所以a=3?,故椭圆E的方程为?+?=1.评析本题考查椭圆的方程、几何性质以及对
称问题,利用方程思想解决点关于直线的对称问题,考查利用待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用.答案????
B本题考查椭圆的标准方程和几何性质.由题意得,a=3,c=?,∴离心率e=?=?.故选B.考点二椭圆的几何性质1.(2017浙
江,2,5分)椭圆?+?=1的离心率是?()A.??B.??C.??D.?2.把离心率记成e=?或e=?,而错选C或D.易错
警示1.把椭圆和双曲线中的a,b,c之间的关系式记混,而错选A.2.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-?的直
线与椭圆C:?+?=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于?.解析设A(x1,y1),B(
x2,y2),则?+?=1①,?+?=1②.①、②两式相减并整理得?=-?·?.结合已知条件得,-?=-?×?,∴?=?,故椭圆的
离心率e=?=?.答案????评析本题考查了直线和椭圆的位置关系.考查了线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求解的关键.本题也
可以利用韦达定理求解.3.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:?+?=1(a>b>0),双曲线N:?-?=1.若双曲线N的两条
渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为?;双曲线N的离心率为?.解析本题考查椭圆与
双曲线的几何性质.解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭圆M的两个焦点
.?∵直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=?x,∴?=?.设m=k,则n=?k,则双曲线N的离心率e2=?=2.答案??
?-1;2解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为?,代入椭圆M的方程,并结合a,b,c的关系,联立得方程组?解得?
=?-1?.连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得∠F1CF2=90°,∠CF1F2=30°.设椭圆的焦距为2c,则|CF
2|=c,|CF1|=?c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即(?+1)c=2a,∴椭圆M的离心率e1=?=?=?=
?-1.方法总结求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从而求出c与a的比值,即得离心率.4.(20
14江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆?+?=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(
0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为?,且BF2=?,求椭
圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.?解析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B
(0,b),所以BF2=?=a.又BF2=?,故a=?.因为点C?在椭圆上,所以?+?=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为?+y
2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为?+?=1.解方程组?得??所以点A的坐标为?.又
AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为?.因为直线F1C的斜率为?=?,直线AB的斜率为-?,且F1C⊥AB,所以?·?
=-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=?.因此e=?.5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆?+?=1(
a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+?,|PF2|=
2-?,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.?解析(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF
2|=(2+?)+(2-?)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|=?=?=2?,即c=?
,从而b=?=1.故所求椭圆的标准方程为?+y2=1.(2)解法一:连接F1Q,如图,设P(x0,y0),因为点P在椭圆上,且PF
1⊥PF2,?所以?+?=1,?+?=c2,求得x0=±??,y0=±?.由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,由PF1⊥
PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=?=?=?=?=?-?.从而|PF1|2=?+?=2(a
2-b2)+2a?=(a+?)2.由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=?|PF1|.因此(2+?)|PF1|=4
a,即(2+?)(a+?)=4a,于是(2+?)(1+?)=4,解得e=?=?-?.解法二:连接F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|
+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF
1|.又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=?|PF1|,因此,4a-2|PF1|=?|PF1|,得|PF1|=2
(2-?)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-?)a=2(?-1)a.C组????教师专用题组答案??+?=1考点
一椭圆的定义和标准方程1.(2011课标,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心
率为?.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为?.失分警示本题易将a求出后当成a2,从而得出错
误方程?+?=1等.评析??本题主要考查椭圆的定义和标准方程,以及离心率,属中等难度题.解析设椭圆方程为?+?=1(a>b>0)
,因为AB过F1且A、B在椭圆上,如图,则△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+
|BF2|=4a=16,∴a=4.又离心率e=?=?,∴c=2?,∴b2=a2-c2=8,∴椭圆C的方程为?+?=1.2.(201
6四川,20,13分)已知椭圆E:?+?=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与
椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l''平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,
B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.解析(1)由已知,a=?b,则椭圆E
的方程为?+?=1.由方程组?得3x2-12x+(18-2b2)=0.①方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3
,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为?+?=1.点T坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l''的方程为y=?x+m(m≠0
),由方程组?可得?所以P点坐标为?,|PT|2=?m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组?可得
3x2+4mx+(4m2-12)=0.②方程②的判别式为Δ=16(9-2m2),由Δ>0,解得-?,x1x2=?.所以|PA|=?=??,同理|PB|=??.所以|PA|·|PB|=??=??故存在常数λ=?,使得|PT|2=λ
|PA|·|PB|.=??=?m2.方法总结一般地,解直线与圆锥曲线相交的问题时,常常是联立方程转化为关于x(或y)的一元二次方
程,注意Δ>0,再结合根与系数的关系进行解题.评析??本题考查了直线与圆锥曲线相交的问题,解这类题常用方程的思想方法,并结合根与系
数的关系,两点间距离公式,难点是运算量比较大,注意运算技巧.3.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:?+?=1(a>b>0)
过点(0,?),且离心率e=?.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G?与以线
段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.?解析(1)由已知得?解得?所以椭圆E的方程为?+?=1.(2)解法一:设点A(x1,
y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由?得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=?,y1y2=-?
,从而y0=?.所以|GH|2=?+?=?+?=(m2+1)?+?my0+?.?=?=?=?=(1+m2)(?-y1y2),故|G
H|2-?=?my0+(1+m2)y1y2+?=?-?+?=?>0,所以|GH|>?.故点G?在以AB为直径的圆外.解法二:设点A
(x1,y1),B(x2,y2),则?=?,?=?.由?得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=?,y1y2=-?,从
而?·?=??+y1y2=??+y1y2=(m2+1)y1y2+?m(y1+y2)+?=?+?+?=?>0,所以cos>
0.又?,?不共线,所以∠AGB为锐角.故点G?在以AB为直径的圆外.评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,
考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.答案????C设直线x=?a与x轴交于点Q,由
题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=?a-c,∴?a-c=?×2c,则e=?=?,故选C.评析?
?本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.考点二椭圆的几何性质1.(2012课标,4,5分)设F
1,F2是椭圆E:?+?=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=?上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率
为?()A.??B.??C.??D.?2.(2013辽宁,15,5分)已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的左焦点为F,C与
过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=?,则C的离心率e=?.解析如图,
设右焦点为F1,|BF|=x,则cos∠ABF=?=?.?解得x=8,故∠AFB=90°.由椭圆C及直线AB关于原点对称可知|AF
1|=8,且∠FAF1=90°,△FAF1是直角三角形,|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,e=?=?.评析本题
考查椭圆的定义、几何性质、余弦定理等知识.注意椭圆的对称性是解题的关键.答案???3.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆
?+y2=1(a>1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至
多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.?解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由?得(1+a2k2)x2+2a
2kx=0,故x1=0,x2=-?.因此|AP|=?|x1-x2|=?·?.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧
的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.由(1
)知,|AP|=?,|AQ|=?,故?=?,所以(?-?)[1+?+?+a2(2-a2)?]=0.由于k1≠k2,k1,k2>0得
1+?+?+a2(2-a2)?=0,因此?=1+a2(a2-2),?①因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-
2)>1,所以a>?.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1的取值范围为0能力.考点一椭圆的定义和标准方程1.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆?+?=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且
垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为?()A.??B.1????C.??D.?一题多解由椭圆的
通径公式得|AB|=?=3,则?=?×2×3=3,又易得△ABF1的周长C=4a=8,则由?=?C·r可得r=?.故选D.答案??
??D不妨设A点在B点上方,由题意知:F2(1,0),将F2的横坐标代入椭圆方程?+?=1中,可得A点纵坐标为?,故|AB|=3
,所以内切圆半径r=?=?=?(其中S为△ABF1的面积,C为△ABF1的周长).故选D.A组2016—2018年高考模拟·基
础题组三年模拟答案????C由题意可得,a=3,b=?,c=?,|AF1|+|AF2|=6.∴|AF2|=6-|AF1|.在△A
F1F2中,|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|·cos45°=|AF1|2-4|AF1|+8
,∴(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8,解得|AF1|=?,∴△AF1F2的面积S=?×?×2?×?=?,故选C
.2.(2017江西九江模拟,8)F1,F2是椭圆?+?=1的左、右焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的
面积为?()A.7????B.??C.??D.?答案????D因为(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcos
θ=?,所以sinθcosθ=-?<0,结合θ∈(0,π),知sinθ>0,cosθ<0,又sinθ+cosθ=?>0
,所以sinθ>-cosθ>0,故?>?>0,因为x2sinθ-y2cosθ=1可化为?+?=1,所以方程x2sinθ-
y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆.3.(2016湖北荆门一模,11)已知θ是△ABC的一个内角,且sinθ+cosθ=
?,则方程x2sinθ-y2cosθ=1表示?()A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.焦点在x轴上的椭圆D
.焦点在y轴上的椭圆答案??+?=1解析∵△F2AB是面积为4?的等边三角形,∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆
方程,可求得|F1A|=|F1B|=?.又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30°,∴?=?×2c①.又?=?×2c×?=4?②,
a2=b2+c2③,由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,∴椭圆C的方程为?+?=1.4.(2018山西康杰中学4月月考,15
)设F1、F2为椭圆C:?+?=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4?的等边三
角形,则椭圆C的方程为?.答案????D由题意知,M(-a,0),N(0,b),F(c,0),∴?=(-a,-b),?=(c,-
b).∵?·?=0,∴-ac+b2=0,即b2=ac.又知b2=a2-c2,∴a2-c2=ac.∴e2+e-1=0,解得e=?或e
=?(舍).∴椭圆的离心率为?,故选D.考点二椭圆的几何性质1.(2018安徽宣城二模,7)已知椭圆?+?=1(a>b>0)的左
顶点为M,上顶点为N,右焦点为F,若?·?=0,则椭圆的离心率为?()A.??B.??C.??D.?答案????A不妨设椭
圆方程为?+?=1(a>1),与直线l的方程联立得?消去y得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,由题意易知Δ=36a
4-4(2a2-1)(10a2-a4)≥0,解得a≥?,所以e=?=?≤?,所以e的最大值为?.故选A.2.(2018豫南九校3月
联考,9)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭
圆C的离心率的最大值为?()A.??B.??C.??D.?答案????B因为正数m是2和8的等比中项,所以m2=16,则m
=4,所以圆锥曲线x2+?=1即为椭圆x2+?=1,易知其焦点坐标为(0,±?),故选B.3.(2016江西五市八校二模,4)已知
正数m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+?=1的焦点坐标为?()A.(±?,0)B.(0,±?)C.(±?,0)或(±?,
0)????D.(0,±?)或(±?,0)答案????A∵圆O与直线BF相切,∴圆O的半径为?,即OC=?,∵四边形FAMN是
平行四边形,∴点M的坐标为?,代入椭圆方程得?+?=1,∴5e2+2e-3=0,又0百校联盟4月联考,10)已知椭圆?+?=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切
,且该圆与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为?()A.??
B.??C.??D.?5.(2018湖南雅礼中学4月月考,14)已知F1、F2分别是椭圆?+?=1的左、右焦点,动点P在椭圆上,
则|PF1|·|PF2|的最大值是?.解析由椭圆方程可知F1(-4,0),F2(4,0),设P(x0,y0),则?+?=1,∴?
=9?,又|PF1|=?,|PF2|=?,∴|PF1|·|PF2|=?·?=?·?=?,又∵x0∈[-5,5],∴?∈[0,25]
,∴|PF1|·|PF2|=25-??∈[9,25],∴|PF1|·|PF2|的最大值为25.一题多解由椭圆的方程知a=5,b=
3,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10,∴|PF1|·|PF2|≤?=52=25,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立
.∴|PF1|·|PF2|的最大值为25.答案251.(2018湖南师大附中4月模拟,10)设椭圆C:?+?=1(a>b>0)的
右焦点为F,椭圆C上的两点A、B关于原点对称,且满足?·?=0,|FB|≤|FA|≤2|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围是?(
)A.??B.??C.??D.[?-1,1)B组??2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:25分钟分值:40分)一、
选择题(每题5分,共30分)答案????A设椭圆左焦点为F'',连接AF''、BF''.由椭圆的对称性可知,四边形AFBF''为平行四边
形,又?·?=0,即FA⊥FB,故平行四边形AFBF''为矩形,所以|AB|=|FF''|=2c.设|AF''|=n,|AF|=m,则在
直角三角形AF''F中m+n=2a,m2+n2=4c2,①得mn=2b2,②①÷②得?+?=?,令?=t,得t+?=?.又由|FB|
≤|FA|≤2|FB|得1≤?≤2,则?=t∈[1,2],∴t+?=?∈?,又?=?=?,则可得?≤e≤?,即离心率的取值范围是?
.故选A.思路分析设出椭圆左焦点F'',由对称性知四边形AFBF''为平行四边形,由?·?=0,知该平行四边形为矩形,设|AF''|=
n,|AF|=m.由椭圆定义及勾股定理得mn=2b2,进而由m2+n2=4c2得?+?=?.再由|FB|≤|FA|≤2|FB|得?
的范围,从而利用相应函数的性质得出离心率的取值范围.解题关键根据题意构造关于离心率e的不等式是求解本题的关键.在解决椭圆有关问题
时注意定义的运用.答案????B由题意可得,|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1
F2=4c2+4c2-2·2c·2c·cos∠PF1F2,即|PF2|=2?c·?,所以a=?=c+?c·?,又60°<∠PF1F
2<120°,∴-?弦定理求出等腰三角形底边PF2的长,进而根据椭圆的定义可得椭圆的长半轴长a=c+?c·?,结合60°<∠PF1F2<120°可得出
a的范围,再根据椭圆离心率的定义进行运算,即可得出椭圆离心率的取值范围.2.(2018湖南湘东五校联考,11)已知椭圆?+?=1(
a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120
°,则该椭圆的离心率的取值范围是?()A.??B.?C.??D.?答案????B由题意知a=3,b=?,c=2.设线段PF
1的中点为M,则有OM∥PF2,∵OM⊥F1F2,∴PF2⊥F1F2,∴|PF2|=?=?.又∵|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|PF1|=2a-|PF2|=?,∴?=?×?=?,故选B.3.(2016湖北八校4月联考,9)设F1,F2为椭圆?+?=1的两
个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则?的值为?()A.??B.?C.??D.?解题关键正确利用椭圆的定义及
其几何性质是解决此题的关键,体现了转化与化归思想的应用.答案????A设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),由题
易知|x0|?+?有解,即c2>(?+?)min,又?=b2
-??,b2+c2=a2,?b2,所以e2=?>
?,又0化归与转化思想,解答此题的关键在于把存在点P使∠F1PF2为钝角转化为?与?的数量积小于0有解.4.(2017广东广州一模,8)已
知F1、F2分别是椭圆C:?+?=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围
是?()A.??B.??C.??D.?一题多解如图,椭圆上存在点P使∠F1PF2为钝角?以原点O为圆心,c为半径的圆与椭圆
有四个不同的交点?b取值范围是?,故选A.?5.(2017河南4月质检,11)已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为
y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为?()A.??B.??C
.??D.?答案????D?解法一:∵|OA|=|OF2|=2|OM|,则M在椭圆C的短轴上,设椭圆C的左焦点为F1,连接AF1
,∵|OA|=|OF2|,∴|OA|=?|F1F2|,∴AF1⊥AF2,从而△AF1F2∽△OMF2,∴?=?=?,又|AF1|2
+|AF2|2=(2c)2,∴|AF1|=?c,|AF2|=?c,又∵|AF1|+|AF2|=2a,∴?c=2a??=?.故选D.
解法二:∵|OA|=|OF2|=2|OM|,∴M在椭圆C的短轴上,在Rt△MOF2中,tan∠MF2O=?=?,设椭圆C的左焦点为
F1,连接AF1,∵|OA|=|OF2|,∴|OA|=?|F1F2|,∴AF1⊥AF2,∴tan∠AF2F1=?=?,设|AF1|
=x(x>0),则|AF2|=2x,所以|F1F2|=?x,∴e=?=?=?=?,故选D.答案????B由椭圆?+?=1知a=3
,b=?,c=?=2,在Rt△AOF中,|OF|=2,|OA|=2?,则|AF|=4.设椭圆的左焦点为F1,则△APF的周长为|A
F|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF1|=4+6+|PA|-|PF1|≤10+|AF1|(当且仅当P在线段AF1的延长线上时取“=”).下面求当△APF周长最大时P的纵坐标:易知AF1的方程为?+?=1,与椭圆的方程5x2+9y2-45=0联立并整理得32y2-20?y-75=0,解得yP=-?(正值舍去).则△APF的周长最大时,S△APF=?|F1F|·|yA-yP|=?×4×?=?.故选B.6.(2016福建厦门一模,11)已知椭圆?+?=1的右焦点为F,P是椭圆上一点,点A(0,2?),当△APF的周长最大时,△APF的面积等于?()A.??B.??C.??D.?解题关键巧妙利用椭圆的定义及三角形的三边关系探求出△APF周长最大时点P位置是解题的关键.二、填空题(每题5分,共10分)7.(2018山东烟台二模,15)已知F(2,0)为椭圆?+?=1(a>b>0)的右焦点,过F且垂直于x轴的弦长为6,若A(-2,?),点M为椭圆上任一点,则|MF|+|MA|的最大值为?.解析设椭圆的左焦点为F'',由椭圆的右焦点为F(2,0),得c=2,又过F且垂直于x轴的弦长为6,即?=6,则?=?=3,解得a=4,所以|MF|+|MA|=8-|MF''|+|MA|=8+|MA|-|MF''|,当M,A,F''三点共线时,|MA|-|MF''|取得最大值,(|MA|-|MF''|)max=|AF''|=?,所以|MF|+|MA|的最大值为8+?.答案8+?思路分析设出椭圆左焦点F'',利用椭圆的定义将求|MF|+|MA|的最大值转化为求8+|MA|-|MF''|的最大值,进而利用三点共线求解.8.(2018广东惠州三调,16)设A、B为椭圆?+?=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A,B的点P,使得?·?=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是?.解析由题意知A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则?=(-x,-y),?=(a-x,-y),又?·?=0,∴(a-x)(-x)+y2=0,得y2=ax-x2>0,∴02b2,又b2=a2-c2,∴?>?,又0
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