高考理数(课标专用)§10.2双曲线及其性质一题多解∵椭圆?+?=1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆?+?=1有公共焦点,∴a2+
b2=(±3)2=9①,∵双曲线的一条渐近线为y=?x,∴?=?②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为?-?=1
.考点一双曲线的定义和标准方程1.(2017课标Ⅲ,5,5分)已知双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=?
x,且与椭圆?+?=1有公共焦点,则C的方程为?()A.?-?=1????B.?-?=1????C.?-?=1????D
.?-?=1答案????B本题考查求解双曲线的方程.由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为?-?=k(k>0),即?-?=1,∵双
曲线与椭圆?+?=1有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为?-?=1.故选B.A组??统一命题·课标卷
题组五年高考答案????A解法一:由题意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c为半焦距,∴2c=2×2|m|=
4,∴|m|=1,∵方程?-?=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,∴-m2法二:∵原方程表示双曲线,且焦距为4,∴?①或?②由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.2.(2016课标Ⅰ,5,5分
)已知方程?-?=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)????B.(-1,?)
????C.(0,3)????D.(0,?)知识拓展对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双
曲线,则m·n<0.考点二双曲线的几何性质1.(2018课标Ⅰ,11,5分)已知双曲线C:?-y2=1,O为坐标原点,F为C的右
焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=?()A.??B.3????C.2?
?D.4答案????B本题主要考查双曲线的几何性质.由双曲线C:?-y2=1可知其渐近线方程为y=±?x,∴∠MOx=30°,∴
∠MON=60°,不妨设∠OMN=90°,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,∴|OM|=?
,则在Rt△OMN中,|MN|=|OM|·tan∠MON=3.故选B.?解题关键利用双曲线的几何性质求出∠MON的大小及|OM
|的值是求解本题的关键.答案????A本题主要考查双曲线的几何性质.∵e=?,∴?=?=?=?,∴双曲线的渐近线方程为y=±?x
=±?x.故选A.2.(2018课标Ⅱ,5,5分)双曲线?-?=1(a>0,b>0)的离心率为?,则其渐近线方程为?()A.y
=±?x?B.y=±?x?C.y=±?x?D.y=±?x答案????C本题考查双曲线的几何性质.点F2(c,0)到渐近线y=?x
的距离|PF2|=?=b(b>0),而|OF2|=c,所以在Rt△OPF2中,由勾股定理可得|OP|=?=a,所以|PF1|=?|
OP|=?a.在Rt△OPF2中,cos∠PF2O=?=?,在△F1F2P中,cos∠PF2O=?=?,3.(2018课标Ⅲ,11
,5分)设F1,F2是双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若
|PF1|=?|OP|,则C的离心率为?()A.??B.2????C.??D.?所以?=??3b2=4c2-6a2,则有3
(c2-a2)=4c2-6a2,解得?=?(负值舍去),即e=?.故选C.方法总结求双曲线的离心率的值(或取值范围)根据题设条件
,得出一个关于a,b,c的等式(或不等式),利用c2=a2+b2消去b,转化为关于a、c的等式(或不等式),即可求得离心率的值(或
取值范围).4.(2014课标Ⅰ,4,5分,0.687)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条
渐近线的距离为?()A.??B.3????C.?m?D.3m答案????A由题意知,双曲线的标准方程为?-?=1,其中a2
=3m,b2=3,故c=?=?,不妨取F(?,0),一条渐近线为y=?x,化成一般式即为x-?y=0,由点到直线的距离公式可得d=
?=?,故选A.思路分析将双曲线的方程化为标准方程,求出一个焦点坐标和一条渐近线方程,再由点到直线的距离公式计算即可.知识延伸
任何双曲线的焦点到其渐近线的距离恒为定值b(其中b为虚半轴长).5.(2015课标Ⅰ,5,5分,0.576)已知M(x0,y0)是
双曲线C:?-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若?·?<0,则y0的取值范围是?()A.??B.?C.??D.?
思路分析由双曲线方程求出F1,F2的坐标,利用数量积的坐标运算表示出?·?,利用M在双曲线上得?=2+2?,从而将?·?转化为仅
含y0的式子,由?·?<0即可解得y0的取值范围.解题关键依据?·?<0正确构建关于y0的不等式是解题的关键.答案????A不
妨令F1为双曲线的左焦点,则F2为右焦点,由题意可知a2=2,b2=1,∴c2=3.∴F1(-?,0),F2(?,0),则?·?=
(-?-x0)·(?-x0)+(-y0)·(-y0)=?+?-3.又知?-?=1,∴?=2+2?,∴?·?=3?-1<0.∴-?<
y00,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在
第一象限内,则易得M(2a,?a),又M点在双曲线E上,于是?-?=1,可得b2=a2,∴e=?=?.6.(2015课标Ⅱ,11,
5分,0.365)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为?()A
.??B.2????C.??D.?思路分析设出双曲线方程,依据题意,求出点M的一个坐标,代入双曲线方程,得到关于a、b的方程
,进而可得出双曲线E的离心率.答案????A解法一:由MF1⊥x轴,可得M?,∴|MF1|=?.由sin∠MF2F1=?,可得c
os∠MF2F1=?=?,又tan∠MF2F1=?=?,∴?=?,∴b2=?ac,∵c2=a2+b2?b2=c2-a2,∴c2-a
2-?ac=0?e2-?e-1=0,∴e=?.故选A.解法二:由MF1⊥x轴,得M?,∴|MF1|=?,由双曲线的定义可得|MF2
|=2a+|MF1|=2a+?,又sin∠MF2F1=?=?=??a2=b2?a=b,∴e=?=?.故选A.7.(2016课标Ⅱ,
11,5分)已知F1,F2是双曲线E:?-?=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=?,则E的离心率为
?()A.??B.??C.??D.2B组??自主命题·省(区、市)卷题组考点一双曲线的定义和标准方程1.(2018天津,7,
5分)已知双曲线?-?=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一
条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为?()A.?-?=1????B.?-?=1C.?-?=1
????D.?-?=1答案????C本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.∵双曲线?-?=1(a>0,
b>0)的离心率为2,∴e2=1+?=4,∴?=3,即b2=3a2,∴c2=a2+b2=4a2,由题意可设A(2a,3a),B(2
a,-3a),∵?=3,∴渐近线方程为y=±?x,则点A与点B到直线?x-y=0的距离分别为d1=?=?a,d2=?=?a,又∵d
1+d2=6,∴?a+?a=6,解得a=?,∴b2=9.∴双曲线的方程为?-?=1,故选C.解题关键利用离心率的大小得出渐近线方
程并表示出点A与点B的坐标是求解本题的关键.方法归纳求双曲线标准方程的方法(1)定义法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出
a,b的值,即可求得方程.(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于a,b的
方程(组),解得a,b的值,即可求得方程.答案????C由已知得?解得?故b=3,从而所求的双曲线方程为?-?=1,故选C.2.
(2015广东,7,5分)已知双曲线C:?-?=1的离心率e=?,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为?()A.?-
?=1????B.?-?=1C.?-?=1????D.?-?=1答案????B本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程
.由离心率为?可知a=b,c=?a,所以F(-?a,0),由题意可知kPF=?=?=1,所以?a=4,解得a=2?,所以双曲线的方
程为?-?=1,故选B.3.(2017天津,5,5分)已知双曲线?-?=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为?.若经过F和P
(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为?()A.?-?=1????B.?-?=1C.?-?=1??
??D.?-?=1方法总结求双曲线的方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造关于参数a,b的方程组,
从而解方程组求出参数a和b的值;(2)定义法:根据题意得到动点所满足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.答案???
?D设A(x0,y0),不妨令其在第一象限,由题意得?可得?=?,?=?×?=?,结合2x0·2y0=2b,可得b2=12.所以
双曲线的方程为?-?=1.故选D.4.(2016天津,6,5分)已知双曲线?-?=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半
径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为?()A.?-?=1???
?B.?-?=1C.?-?=1????D.?-?=1答案????D由题意知点(2,?)在渐近线y=?x上,所以?=?,又因为抛
物线的准线为x=-?,所以c=?,故a2+b2=7,所以a=2,b=?.故双曲线的方程为?-?=1.选D.5.(2015天津,6,
5分)已知双曲线?-?=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,?),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4?x的准线上,则双曲线的
方程为?()A.?-?=1????B.?-?=1C.?-?=1????D.?-?=1答案????A由题意得?解得|F2A
|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得?=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,∴cos∠AF2F1=?=?=?.故选A.6.
(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2
F1=()A.??B.??C.??D.?答案????B本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.∵a2=3,b2=1,∴c=?
=2.又∵焦点在x轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).考点二双曲线的几何性质1.(2018浙江,2,4分)双曲线
?-y2=1的焦点坐标是?()A.(-?,0),(?,0)????B.(-2,0),(2,0)C.(0,-?),(0,?)
????D.(0,-2),(0,2)易错警示求双曲线焦点坐标的易错点(1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误;(2)双曲线与椭
圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.2.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:?+y2=1(m>1)与双曲线C2:?-y2
=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则?()A.m>n且e1e2>1????B.m>n且e1e2<
1C.m1????D.m式,然后判定范围即可.答案????A在椭圆中,a1=m,c1=?,e1=?.在双曲线中,a2=n,c2=?,e2=?.因为c1=
c2,所以n2=m2-2.从而?·?=?=?,令t=m2-1,则t>1,?·?=?>1,即e1e2>1.结合图形易知m>n,故选A
.评析本题考查了椭圆、双曲线的方程和基本性质.考查了运算求解能力.答案????A设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2
,则e1=?,e2=?.因为e1·e2=?,所以?=?,即?=?,∴?=?.故双曲线的渐近线方程为y=±?x=±?x,即x±?y=
0.3.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为?+?=1,双曲线C2的方程为?-?=1,C1与C2的离心率之
积为?,则C2的渐近线方程为?()A.x±?y=0????B.?x±y=0C.x±2y=0????D.2x±y=04.(2
014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线?-?=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2
|=3b,|PF1|·|PF2|=?ab,则该双曲线的离心率为?()A.??B.??C.??D.3评析本题考查双曲线的定义及
性质,依据条件列出关系式后,若直接求?,则运算量很大,改为利用|PF1|与|PF2|的关系求解,巧妙转化,会降低运算难度.答案??
??B设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,于是?∴m·n=?·?·??m=3n?.∴a=n,b=?n?c=
?n,∴e=?,选B.5.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线?-?=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,
0)到一条渐近线的距离为?c,则其离心率的值是?.解析本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0
)到这条渐近线的距离为?=?c,∴b=?c,∴b2=?c2,又b2=c2-a2,∴c2=4a2,∴e=?=2.答案26.(201
7北京,9,5分)若双曲线x2-?=1的离心率为?,则实数m=?.解析由OA、OC所在直线为渐近线,且OA⊥OC,知两条渐近线的
夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2?,根据c2
=2a2可得a=2.7.(2016北京,13,5分)双曲线?-?=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的
直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=?.解析本题考查双曲线的性质.由题意知,a2=1,b2=m.∵e=
?=?=?=?,∴m=2.答案2答案2评析本题考查等轴双曲线及其性质.答案???解析不妨设F为左焦点(-c,0),点P在
第一象限,因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端点,所以由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上,∴?-?=1,∴?=
5,∴e=?=?.8.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:?-?=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴
的一个端点,则C的离心率为?.9.(2016山东,13,5分)已知双曲线E:?-?=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点
在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是?.解析由已知得|AB|=|CD|=?,|BC|
=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以?=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2
,或e=-?(舍去).答案2评析本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2构造关于离心率e的方程
是求解的关键.10.(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线?-?=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物
线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为?.解析本题考查双曲线、抛物线
的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法.设A(x1,y1),B(x2,y2).因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4×?
=y1+?+y2+?,即y1+y2=p①.由?消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2=?②.由①②可得?=?
,故双曲线的渐近线方程为y=±?x.答案?y=±?x解题关键求渐近线方程的关键是求?的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意
到|AF|、|BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解.这样利用y1+y2这个整
体来建立等量关系便可求解.思路分析由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示).再联立双曲线和抛
物线的方程,消去x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y1+y2.从而得?的值,进而得渐近线方程.C组????教师专用题组答
案????B由右焦点为F(3,0)可知c=3,又因为离心率等于?,所以?=?,所以a=2.由c2=a2+b2知b2=5,故双曲线
C的方程为?-?=1,故选B.考点一双曲线的定义和标准方程(2013广东,7,5分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0
),离心率等于?,则C的方程是?()A.?-?=1????B.?-?=1C.?-?=1????D.?-?=1答案????D
双曲线x2-?=1的右焦点为F(2,0),其渐近线方程为?x±y=0.不妨设A(2,2?),B(2,-2?),所以|AB|=4?
,故选D.考点二双曲线的几何性质1.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-?=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐
近线于A,B两点,则|AB|=?()A.??B.2??C.6????D.4?答案????D依题意有e1=?=?,e2=?
=?.而?-?=?,∵a>0,b>0,m>0,∴当a>b时,??,有e1>e2.故选D.2.(
2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e
2的双曲线C2,则?()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a1b时,e1e23.(2015重庆,10,5分)设双曲线?-?=1(a>0,b>0)的
右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距
离小于a+?,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是?()A.(-1,0)∪(0,1)????B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C
.(-?,0)∪(0,?)????D.(-∞,-?)∪(?,+∞)答案????A由题知F(c,0),A(a,0),不妨令B点在
第一象限,则B?,C?,kAB=?,∵CD⊥AB,∴kCD=?,∴直线CD的方程为y+?=?(x-c).由双曲线的对称性,知点D在
x轴上,得xD=?+c,点D到直线BC的距离为c-xD,∴?a2,?<1,又该双曲线的渐近线的斜率为?或-?,∴双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)∪(0,1).选A.答案????A∵
00,25-k>0.∴?-?=1与?-?=1均表示双曲线,又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,∴它
们的焦距相等,故选A.4.(2014广东,4,5分)若实数k满足0等????B.实半轴长相等C.虚半轴长相等????D.离心率相等答案????C∵?=?=?=?,∴C的渐近线
方程为y=±?x.故选C.思路分析由双曲线离心率与?的关系可得?=?,由此即可写出渐近线方程.5.(2013课标Ⅰ,4,5分,0
.911)已知双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的离心率为?,则C的渐近线方程为?()A.y=±?x?B.y=±?xC.y
=±?x?D.y=±x答案????C如图,AB为抛物线y2=16x的准线,由题意可得A(-4,2?).设双曲线C的方程为x2-y
2=a2(a>0),则有16-12=a2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.?评析???本题考查了双曲线和抛物线的基础知
识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.6.(2012课标,8,5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛
物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4?,则C的实轴长为?()A.??B.2??C.4????D.8答案????
B不妨设双曲线C为?-?=1(a>0,b>0),并设l过F2(c,0)且垂直于x轴,则易求得|AB|=?,∴?=2×2a,b2=
2a2,∴离心率e=?=?=?,故选B.7.(2011课标,7,5分)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C
交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为?()A.??B.??C.2????D.3错因分析将|AB|求错
或者将实轴长视作a是致错的主要原因.评析?本题主要考查双曲线的方程、离心率和实轴等几何性质,属中等难度题目.答案2?解析由?
-?=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c=?,所以2c=2?.8.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双
曲线?-?=1的焦距是?.9.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:?-?=1(a>0,b>0)的渐近线
与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为?.解析设点A在点B左侧,抛
物线C2的焦点为F,则F?.由?和?分别解得A?,B?.∵F为△OAB的垂心,∴AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1,即?·?=-1
?4b2=5a2?4(c2-a2)=5a2??=?,∴e=?=?.答案???10.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线
C:?-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)
求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:?-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=?相交于点N
.证明:当点P在C上移动时,?恒为定值,并求此定值.?解析(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=?,直线OB的方程为y=-
?x,直线BF的方程为y=?(x-c),解得B?.又直线OA的方程为y=?x,则A?,kAB=?=?.又因为AB⊥OB,所以?·?
=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为?-y2=1.(2)由(1)知a=?,则直线l的方程为?-y0y=1(y0≠0),即y=?
.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M?;直线l与直线x=?的交点为N?,则?=?=?=?·?.因为P(x0,y
0)是C上一点,则?-?=1,代入上式得?=?·?=?·?=?,所求定值为?=?=?.考点一双曲线的定义和标准方程1.(2018
河南洛阳尖子生4月联考,8)设F1、F2分别为双曲线?-?=1的左、右焦点,过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点
P,T为切点,M为线段F1P的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|等于?()A.4????B.3????C.2???
?D.1答案????D连接PF2,OT,则有|MO|=?|PF2|=?(|PF1|-2a)=?(|PF1|-6)=?|PF1|-
3,|MT|=?·|PF1|-|F1T|=?|PF1|-?=?|PF1|-4,于是有|MO|-|MT|=?-?=1,故选D.A组
2016—2018年高考模拟·基础题组三年模拟答案????B由题意知F(?,0),设左焦点为F0,则F0(-?,0),由题可知
△APF的周长l为|PA|+|PF|+|AF|,而|PF|=2a+|PF0|,∴l=|PA|+|PF0|+2a+|AF|≥|AF0
|+|AF|+2a=?+?+2×2=4?+4=4(?+1),当且仅当A,F0、P三点共线时取得“=”,故选B.2.(2018安徽淮
南三校1月联考,11)已知双曲线?-?=1右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,?),则△APF周长的最小值为?()A.
4+??B.4(1+?)C.2(?+?)????D.?+3?答案????B由题意及正弦定理得?=?=e=2,∴|PF1|=2
|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=4,由余弦定理可知cos
∠PF2F1=?=?=?,∴?·?=|?|·|?|cos∠PF2F1=2×4×?=2.故选B.3.(2017湖北黄冈二模,5)已知
双曲线x2-?=1的左,右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使?=e,则?·?的值为?()A.3
????B.2????C.-3????D.-2答案????D不妨设B(0,b),由?=2?,F(c,0),可得A?,代入双曲
线C的方程可得?×?-?=1,即?·?=?,∴?=?,①又|?|=?=4,c2=a2+b2,∴a2+2b2=16,②由①②可得,a
2=4,b2=6,∴双曲线C的方程为?-?=1,故选D.4.(2017河南新乡二模,7)已知双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)
的右焦点为F,点B是虚轴的一个端点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若?=2?,且|?|=4,则双曲线C的方程为()A.?-
?=1????B.?-?=1C.?-?=1????D.?-?=15.(2018河北名校名师俱乐部二调,15)已知F1、F2分别
是双曲线x2-?=1(b>0)的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲
线的右支于点B,则△F1AB的面积等于?.解析由题意知a=1,由双曲线定义知|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF
2|=2a=2,∴|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1|=2+|BF2|.由题意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF
2|,∴|BA|=|BF1|,∴△BAF1为等腰三角形,∵∠F1AF2=45°,∴∠ABF1=90°,∴△BAF1为等腰直角三角形
.∴|BA|=|BF1|=?|AF1|=?×4=2?.∴?=?|BA|·|BF1|=?×2?×2?=4.?答案4答案????D
不妨设P为双曲线右支上一点,则|PF1|>|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6
a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因为?所以∠PF1F2为最小内角,故∠PF1F2=?.由余弦定理,可得?=?,即(?
a-c)2=0,所以c=?a,则b=?a,所以双曲线的渐近线方程为y=±?x,故选D.考点二双曲线的几何性质1.(2018河南4
月适应性测试,9)已知F1、F2分别是双曲线?-?=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,若|PF1|+|PF2|=
6a,且△PF1F2的最小内角为?,则双曲线的渐近线方程为?()A.y=±2x?B.y=±?xC.y=±?x?D.y=±?x答
案????A由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±?x,即bx±ay=0,圆C2:x2+y2-2ax+?a2=0可化为(x-a)2
+y2=?a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=?a,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得?2b
,即c2>4b2,又知b2=c2-a2,所以c2>4(c2-a2),即c21,所以双曲线C1的离
心率的取值范围为?,故选A.2.(2018山东泰安2月联考,11)已知双曲线C1:?-?=1(a>0,b>0),圆C2:x2+y2
-2ax+?a2=0,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的范围是?()A.??B.??C.
(1,2)????D.(2,+∞)3.(2016河南中原名校3月联考,6)过双曲线?-?=1(a>0,b>0)的右焦点与对称轴垂
直的直线与渐近线交于A,B两点,若△OAB的面积为?,则双曲线的离心率为?()A.??B.??C.??D.?4.(2017福
建龙岩二模,11)已知离心率为?的双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的
点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若?=16,则双曲线的实轴长是?()A.32????B.16????C.84????D
.4答案????B由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=?x上,由题意可知|F2M|=?=b,所以|OM|=?=a.由?
=16,可得?ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,?=?,所以a=8,b=4,c=4?,所以双曲线C的实轴长为16.故选
B.答案????D由题意可求得|AB|=?,所以S△OAB=?×?×c=?,整理得?=?,即e=?,故选D.5.(2018河南安
阳二模,14)已知焦点在x轴上的双曲线?+?=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是?.解析对于焦点在x轴上的双曲线?-?=1(
a>0,b>0),它的焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为?=b.本题中,双曲线?+?=1即?-?=1,其焦点在x轴上,则
?解得4的距离都相等.答案??解析由于双曲线和圆都关于x轴对称,又△APQ的一个内角为60°,所以△APQ为正三角形,则∠PFx=60
°,所以xP=c+(a+c)cos60°=?,yP=(a+c)sin60°=?,即P?,代入双曲线方程?-?=1,整理得3e2
-e-4=0,解得e=?,故答案为?.6.(2018福建六校4月联考,15)已知双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的右焦点为F
,左顶点为A,以F为圆心,FA为半径的圆交C的右支于P,Q两点,△APQ的一个内角为60°,则双曲线C的离心率为??.1.(201
8山西太原五中4月月考,11)已知F1、F2是双曲线?-?=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左支交于点A
,与右支交于点B,若|AF1|=2a,∠F1AF2=?,则?=?()A.1????B.??C.??D.?B组??2016—
2018年高考模拟·综合题组(时间:35分钟分值:50分)一、选择题(每题5分,共35分)答案????B如图所示,由双曲线定
义可知|AF2|-|AF1|=2a.?又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a,因为∠F1AF2=?π,所以?=?|AF1|·|A
F2|·sin∠F1AF2=?×2a×4a×?=2?a2.设|BF2|=m,由双曲线定义可知|BF1|-|BF2|=2a,所以|B
F1|=2a+|BF2|,又知|BF1|=2a+|BA|,所以|BA|=|BF2|.又知∠BAF2=?,所以△BAF2为等边三角形
,边长为4a,所以?=?|AB|2=?×(4a)2=4?a2,所以?=?=?,故选B.思路分析利用双曲线定义及|AF1|=2a求
得|AF2|,从而利用三角形面积公式求出?;在△BF1F2中,利用双曲线定义得|BA|=|BF2|,从而得△ABF2为等边三角形,
进一步可求得?,最后得面积的比值.解题关键利用双曲线定义得|BF1|-|BF2|=2a,进而结合|BF1|=2a+|BA|得出|
BA|=|BF2|是求解本题的关键.2.(2018广东六校4月联考,11)已知点F为双曲线E:?-?=1(a>0,b>0)的右焦点
,直线y=kx(k>0)与E交于不同象限内的M,N两点,若MF⊥NF,设∠MNF=β,且β∈?,则该双曲线的离心率的取值范围是?(
)A.[?,?+?]????B.[2,?+1]C.[2,?+?]????D.[?,?+1]答案????D??如图,设左焦点
为F'',连接MF''、NF'',令|MF|=r1,|MF''|=r2,则|NF|=|MF''|=r2,由双曲线定义可知r2-r1=2a①,
∵点M与点N关于原点对称,且MF⊥NF,∴|OM|=|ON|=|OF|=c,∴?+?=4c2②,由①②得r1r2=2(c2-a2)
,又知S△MNF=2S△MOF.∴?r1r2=2·?c2·sin2β,∴c2-a2=c2·sin2β,∴e2=?,又∵β∈?,
∴sin2β∈?,∴e2=?∈[2,(?+1)2].又e>1,∴e∈[?,?+1],故选D.?解题关键利用S△MNF=2S△
MOF将e2用含β的三角函数式表示出来是解题的关键.一题多解由双曲线的对称性与已知条件可知|OM|=|ON|=|OF|=c,∴|
MN|=2c.在Rt△NMF中,|MF|=2c·sinβ,|NF|=2c·cosβ,∴||MF|-|NF||=2c|sinβ
-cosβ|=2a,∴e=?=?=?,∵β∈?,∴β+?∈?,∴cos?∈?,∴?·?∈?,∴e=?∈[?,?+1].故选D.3
.(2018河北衡水中学二模,12)已知双曲线C:x2-?=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P是双曲线C上的任意一点,
过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于A,B两点,若四边形PAOB(O为坐标原点)的面积为?,且?·?>0,则
点P的横坐标的取值范围为?()A.?∪?B.?C.?∪?D.?答案????A由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双
曲线C的渐近线OA:bx-y=0,OB:bx+y=0.设点P(m,n),则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到渐近线OB
的距离为d=?.由?解得?∴B??,??,∴|OB|=?=?|bm-n|,∴S?PAOB=|OB|·d=?.又∵m2-?=1,∴b
2m2-n2=b2,∴S?PAOB=?b.又S?PAOB=?,∴b=2?.∴双曲线C的方程为x2-?=1,∴c=3,∴F1(-3,
0),F2(3,0),∴?·?=(-3-m)(3-m)+n2>0,即m2-9+n2>0,又∵m2-?=1,∴m2-9+8(m2-1
)>0,解得m>?或m<-?,∴点P的横坐标的取值范围为?∪?,故选A.知识拓展点P是双曲线?-?=1(a>0,b>0)上任意一
点,过点P作两条渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点,则平行四边形PAOB的面积为定值?ab.解题关键设出点P,并表示出
S?PAOB,进而列方程求得b的值是解题的关键.答案????B不妨设双曲线方程为?-?=1(a>0,b>0),由已知,取A点坐标
为?,取B点坐标为?,则C点坐标为?,由AC⊥BF1知?·?=0,又b2=c2-a2,可得3c4-10c2a2+3a4=0,则有3
e4-10e2+3=0,又e>1,所以e=?.故选B.思路分析根据题意写出点A、B、C的坐标,根据AC⊥BF1得?·?=0,结合
b2=c2-a2及e=?得关于e的方程,解方程可得e的值.4.(2017安徽安庆二模,6)已知F1、F2为双曲线的焦点,过F2作垂
直于实轴的直线交双曲线于A、B两点,BF1交y轴于点C,若AC⊥BF1,则双曲线的离心率为?()A.??B.??C.2??D.
2?答案????A∵直线4x-3y+20=0过双曲线C的左焦点,∴令y=0,得x=-5,即F(-5,0),∴c=5.又知点O到
直线4x-3y+20=0的距离d=?=4.设PF的中点为M,右焦点为F0,连接OM,则OM⊥PF,且|OM|=4,∴|PF|=6,
连接PF0,5.(2018河北五个一联盟联考,10)设双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的左焦点为F,直线4x-3y+20=0
过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P,|OP|=|OF|,其中O为原点,则双曲线C的离心率为?()A.5????B.??C
.??D.?∵M为PF的中点,O为FF0的中点,∴OM∥PF0且|OM|=?|PF0|,则|PF0|=2|OM|=8,由双曲线的
定义可知|PF0|-|PF|=2a,即2a=8-6=2,∴a=1.∴双曲线C的离心率e=?=?=5.故选A.解题关键想到作焦点三
角形,进而利用双曲线的定义是解题的关键.答案????C由题意得,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,设A(x1,x1),B(x2,
-x2),则OA⊥OB,AB的中点为?,又因为AB的中点在双曲线上,所以?-?=2,化简得x1x2=2,所以S△AOB=?|OA|
·|OB|=?|?x1|·|?x2|=|x1x2|=2,故选C.知识延伸等轴双曲线的性质:①离心率e=?;②渐近线互相垂直;③等
轴双曲线上任意一点到对称中心的距离是到两焦点距离的等比中项.6.(2016河北石家庄二模,9)已知直线l与双曲线C:x2-y2=2
的两条渐近线分别交于A,B两点,若AB的中点在该双曲线上,O为坐标原点,则△AOB的面积为?()A.??B.1????C.2
????D.4答案????C如图所示,设PF1、PF2分别与△PAF2的内切圆切于M、N,依题意,有|MA|=|AQ|,|NP
|=|MP|,|NF2|=|QF2|,|AF1|=|AF2|=|QA|+|QF2|,2a=|PF1|-|PF2|=(|AF1|+|
MA|+|MP|)-(|NP|+|NF2|)=2|QA|=2?,故a=?,从而e=?=?=?,故选C.7.(2017福建福州3月
质检,11)已知双曲线E:?-?=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,|F1F2|=6,P是E右支上的一点,PF1与
y轴交于点A,△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|=?,则E的离心率是?()A.2??B.??C.??D.?思
路分析画出符合题意的图形,根据双曲线的定义及切线长定理可得a的值,进而可求得离心率e的值.二、填空题(每题5分,共15分)8.(
2018山西太原4月联考,14)已知双曲线C:?-?=1的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M,再反向延长交另一
条渐近线于N,若2?=?,则双曲线C的离心率e=?.解析如图所示.渐近线OM的方程为bx+ay=0,右焦点为F(c,0),因此,
|FM|=?=b.过点F作FP⊥ON,垂足为P,则|FP|=|FM|=b.又因为2?=?,所以|FN|=2b,在直角三角形FPN中
,sin∠FNP=?=?=?,所以∠FNP=?,故在直角三角形OMN中,∠MON=?,所以∠FON=?,∴?=?,即a=?b,所以c=?=2b,所以双曲线的离心率为e=?=?=?.答案???一题多解由2?=?知,?=?.由渐近线的对称性知∠NOF=∠MOF,即OF为∠NOM的角平分线,则cos∠NOM=?=?=?,所以∠NOM=?,∠NOF=∠MOF=?.因为双曲线C的渐近线方程为y=±?x,所以?=tan?=?,所以e=?=?=?.答案??9.(2018河南天一大联考(五),16)已知F1(-c,0)、F2(c,0)为双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q,R两点(Q在第二象限内),连接RO(O为坐标原点)并延长交C的右支于点P,若|F1P|=|F1Q|,∠F1PF2=?π,则双曲线C的离心率为?.解析设|PF1|=x,则|PF2|=x-2a,作Q关于原点对称的点S,连接PS,RS,SF1.因为双曲线关于原点中心对称,所以|PO|=|OR|,S在双曲线上,所以四边形PSRQ是平行四边形,根据对称性知,F2在线段PS上,|F2S|=|QF1|=x,则∠F1PS=?,根据双曲线的定义,有|F1S|=x+2a,所以在△PF1S中,由余弦定理得(x+2a)2=x2+(2x-2a)2-2·x(2x-2a)·?,解得x=?a,所以|PF2|=?a,所以在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=?+?-2×?×?a×?a,整理可得e=?=?.?思路分析利用双曲线的对称性构造平行四边形PSRQ,设|PF1|=x,利用双曲线定义及余弦定理求得x,在△PF1F2中,再次利用余弦定理得到关于a,c的等式,从而求得离心率.方法点拨求圆锥曲线的离心率主要有两种方法:(1)直接求出a,c的值即可求得离心率;(2)根据已知条件得出a,b,c之间的关系,构造a,c的关系,进而得到关于e的一元方程,从而可解得圆锥曲线的离心率e.答案??x2-?=1解析???设点A(1,0),因为△PF1F2的内切圆与x轴切于点(1,0),则|PF1|-|PF2|=|AF1|-|AF2|,所以2a=(c+1)-(c-1),则a=1.因为点P与点F1关于直线y=-?对称,所以∠F1PF2=?,且?=?=b,结合|PF1|-|PF2|=2,|PF1|2+|PF2|2=4c2=4+4b2,可得b=2.所以双曲线的方程为x2-?=1.解题关键利用切线长定理及已知条件得出a=1,并由点P与点F1关于直线y=-?对称,得∠F1PF2=?是解题的关键.10.(2016福建漳州二模,16)已知双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1、F2,P为双曲线C右支上异于顶点的一点,△PF1F2的内切圆与x轴切于点(1,0),且P与点F1关于直线y=-?对称,则双曲线的方程为?. |
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