1.2不等关系及简单不等式的解法--知识梳理考点自诊>=<>=<--知识梳理考点自诊2.不等式的性质(1)对称性:a>b?b<
a.(2)传递性:a>b,b>c?.?(3)可加性:a>b?a+cb+c;a>b,c>d?a+cb+d.?(4)可乘性:a>
b,c>0?acbc;a>b,c<0?acbc;a>b>0,c>d>0?acbd.?(5)可乘方:a>b>0?anb
n(n∈N,n≥1).?a>c>>><>>>--知识梳理考点自诊3.三个“二次”之间的关系{x|x>x2或x1}{x|x1画“√”,错误的画“×”.(1)a>b?ac2>bc2.()×√(3)若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,
x2),则必有a>0.()(4)不等式的解集是[-1,2].()(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有
实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R.()√××--知识梳理考点自诊2.(2018北京海淀期末,2)已
知a,b∈R,若a个数值小于0时a<2b不一定成立;对B,当b=0时,aba3题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1) B.(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1)C解析:∵命
题“存在x∈R,x2+2ax+1<0”是真命题,∴Δ=4a2-4>0.∴a>1或a<-1.选C.--知识梳理考点自诊D1--考点1
考点3考点4考点2考点5比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1,a2∈(0,1),若M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的
大小关系是()A.MN C.M=N D.不确定(2)若,则()A.aD.b1=(a1-1)·(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0
,即M-N>0.∴M>N.(2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.--考点1考点3考点4考点2考点5思考比较两个数(式)大小
常用的方法有哪些?解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论
.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关
键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.--考点1考点3考点4考点2考点5
对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.c≥b>
a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b(2)已知a,b是实数,且e关系是.?Aab>ba解析:(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.又b+c=6-4a+3a2,∴2b
=2+2a2.∴b=a2+1.∵当x>e时,f''(x)<0,∴f(x)在(e,+∞)内单调递减.∵ef(b)
,--考点1考点3考点4考点2考点5不等式的性质及应用(-π,0)27--考点1考点3考点4考点2考点5思考已知某些量的范围,
求由这些量组成的代数式的范围常用不等式的哪些性质?解题心得(1)已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向
可加性、同向同正可乘性;(2)在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等号不确定;(3)不等式两边取倒数,不
等式两边同乘某一量,例如:若a>b,当ab>0对a>b两边同乘--考点1考点3考点4考点2考点5D对点训练2(1)如果a那么下列不等式成立的是()(-4,2)(2)已知-1(1,18)--考点1考点3考点4考点2考点5--考点1考点3考点4考点2考点5一元二次不等式的解法例3(1)解不等式:-x2-
3x+4≤0;(2)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,求实数a的值;(3)解关于
x的不等式:ax2-(a+1)x+1>0.--考点1考点3考点4考点2考点5解(1)不等式两边同乘-1,原不等式可化为x2+3x
-4≥0,即(x-1)(x+4)≥0,解得x≤-4或x≥1.故不等式-x2-3x+4≤0的解集是{x|x≤-4或x≥1}.(2)若
a=0,显然不符合题意;若a>0,由x2-2ax-8a2<0得-2a-2ax-8a2<0得4a4考点2考点5思考解一元二次不等式的一般思路是怎样的?解题心得(1)对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法或判别式法求解.(2
)含有参数的不等式的求解,需要对参数进行分类讨论,讨论有三层:第一,若二次项系数含参数,先讨论二次项系数是否为零,以确定不等式是一
次不等式还是二次不等式;第二,当二次项系数不为零时,若不易分解因式,则依据判别式符号进行分类讨论;第三,对方程的根进行讨论,比较大
小,以便写出解集.--考点1考点3考点4考点2考点5对点训练3解下列关于x的不等式:(1)-x2-x+2≥0;(2)ax2-2≥2
x-ax(a∈R).解(1)原不等式可化为x2+x-2≤0,方程x2+x-2=0的根为-2,1,因此不等式-x2-x+2≥0的解
集是{x|-2≤x≤1}.--考点1考点3考点4考点2考点5--考点1考点3考点4考点2考点5分式不等式的解法(-2,3)思考
解分式不等式的基本思路是什么?--考点1考点3考点4考点2考点5--考点1考点3考点4考点2考点5一元二次不等式恒成立问题(多考
向)考向1不等式在R上恒成立求参数范围例5若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为()A.(-
3,0] B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0)D思考一元二次不等式在R上恒成立的条件是什么?--考点1考点3考点4
考点2考点5考向2x在给定区间上恒成立求参数范围例6(2018江苏镇江一模,12)已知函数f(x)=x2-kx+4对任意的x∈[
1,3],不等式f(x)≥0恒成立,则实数k的最大值为.?思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?4--考点1考点3考点4考点
2考点5--考点1考点3考点4考点2考点5考向3给定参数范围的恒成立问题例7已知对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(
k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是.答案:{x|x<1或x>3}解析:x2+(k-4)x+4-2k>0恒成立,
即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0在k∈[-1,1]时恒成立.--考点1考点3考点4考点2考点5思考如何求解给定参数
范围的恒成立问题?2.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的最值来解决;二是
先分离出参数,再通过求函数的最值来解决.3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个
新的函数,然后利用新函数求解.--考点1考点3考点4考点2考点5对点训练5(1)已知a为常数,任意x∈R,ax2+ax+1>0,则
a的取值范围是()A.(0,4) B.[0,4) C.(0,+∞) D.(-∞,4)(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对
于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.?(3)已知不等式xy≤ax2+2y2对x∈[1,2],y
∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是.?B[-1,+∞)--考点1考点3考点4考点2考点5--考点1考点3考点4考点2考
点51.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差—变形—判断正负.2.判断不等式是否成
立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.3.简单的分式不等式可
以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解.4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a<0的情形转化为a>0
的情形.--考点1考点3考点4考点2考点55.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全
部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2
)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.--思想方法——发散思维和
转化与化归思想在不等式中的应用1.发散思维训练——一题多变练发散典例已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈R,f(x)<0
恒成立,求实数m的取值范围.解当m=0时,f(x)=-1<0恒成立.综上,-4练1将本例中的条件变为:对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.--跟踪训练2将本例中的条件变为:若f(x
)<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.--跟踪训练3将跟踪训练1中的条件“f(x)<5-m恒成立”改为“f(x)<5
-m无解”,如何求m的取值范围?跟踪训练4将跟踪训练1中的条件“f(x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)<5-m成立”,如
何求m的取值范围?--反思提升1.对于一元二次不等式恒成立问题,用数形结合法是解题的关键.2.解决恒成立问题一定要弄清主元与参数,
自变量x不一定是主元.--2.转化与化归思想在不等式中的应用典例已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞
),若关于x的不等式f(x)化归思想:将函数的值域和不等式的解集转化为a,b,c满足的条件;不等式恒成立可以分离常数,转化为函数值域问题.2.注意函数f(x)
的值域为[0,+∞)与f(x)≥0的区别.1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法(6)可开方:a>b>0??(n∈N,
n≥2).判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a
>0)的根有两个相异实根x1,x2(x10(a>0)的解集?Rax
2+bx+c<0(a>0)的解集???1.若a>b>0,m>0,则(b-m>0);(b-m>0).2.(x-a)(x-b)>0或(
x-a)(x-b)<0型不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.3.恒成立问题的转化:a>f(x)恒成立?a>f(x)max;a
≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.4.能成立问题的转化:a>f(x)能成立?a>f(x)min;a≤f(x)能成立?a≤f(x
)max.5.恰成立问题的转化:a>f(x)在M上恰成立?a>f(x)的解集为M?另一转化方法:若x∈D,f(x)≥A在D上恰成立
,等价于f(x)在D上的最小值f(x)min=A;若x∈D,f(x)≤B在D上恰成立,则等价于f(x)在D上的最大值f(x)max
=B.(2)a>b>0,c>d>0?.()≤0解析:∵集合A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<0或x>1},∴A∩B={x|-1)A.{x|1知当a>0>b时,“若a>b,则”为假命题,不妨取a=1,b=-1.5.(2018北京,文11)能说明“若a>b,则”为假命题的一
组a,b的值依次为.?a=,b=,c=由=log8164<1,可知a>b;由=log6251024>1,可知b>c.故ca.(方法二)令f(x)=,可得f''(x)=.易知当x>e时,f''(x)<0,即f(x)单调递减.因为e<3<4<5,所以f(3)
>f(4)>f(5),即calnb.∴ab>ba.∴b-a=a2-a+1=>0,∴b>a.∴c≥b>
a.(2)令f(x)=,则f''(x)=.解析:(1)因为-<α<,-<-β<,所以-π<α-β<π.又α<β,所以α-β<0,所
以-π<α-β<0.(2)由3≤xy2≤8,4≤≤9,可知x>0,y>0,且,16≤≤81,可得2≤≤27,故的最大值是27.例2
(1)若-<α<β<,则α-β的取值范围为.?(2)若实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值是.,得.A.B.a
b0,ab>0,故>0,,故
A项错误;对于B项,由a0,∴ab>b2,故B项错误;对于C项,由a0,∴a2
>ab,即-ab>-a2,故C项错误;对于D项,由a0,故-<0,-<-成立,故D项正确.解法二(特
殊值法):令a=-2,b=-1,则=-=-1,ab=2>b2=1,-ab=-2>-a2=-4,-<-=1.故A,B,C项错误,D项
正确.(2)∵-1<2y<6,∴1<3x+2y<18.则a=-.综上可得,a=±.则a=;(3)当a=0时,不等式ax2-(a+1)x+1>0可化为
x-1<0,即x<1;当a≠0时,不等式ax2-(a+1)x+1>0可化为a(x-1)x->0,则当a>1时,x∈-∞,∪(1,+
∞);当a=1时,x∈(-∞,1)∪(1,+∞);当0,不等式的解集为,1;当a=0时,不等式的解集为(-∞,1);当0式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);当a>1时,不等式的解集为-∞,∪(1,+∞).(2)原不等式可化为ax2+(a-2)x-2
≥0.①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1;②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,解得x≥或x≤-1;③当a<0
时,原不等式化为(x+1)≤0.当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;当=-1,即a=-2时,解得x=-1;当<-1,即-2<0时,解得≤x≤-1.综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当a>0时,不等式的解集为;当-2的解集为;当a=-2时,不等式的解集为{-1};当a<-2时,不等式的解集为.解析:由>-1,得+1>0,即<0,解得-2.故原不等式的解集为(-2,3).解题心得解分式不等式时,切忌直接去分母,一般先通过移项、通分,将分式不等式化简(如化为>0或<0
),再等价转化为整式不等式的形式,即转化为一次、二次或高次不等式.例4不等式>-1的解集为.?答案:解析:由≤2,得≥0,解得
x>或x≤.对点训练4不等式≤2的解集为.?解析:2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则必有解之,得-3解法一)(1)当Δ=k2-16≤0时,即k∈[-4,4],f(x)≥0恒成立;(2)当Δ=k2-16>0时,即k>4或k<-4时,
若抛物线的对称轴∈[1,3],即k∈[2,6],f(x)≥0不恒成立;若>3,即k>6,∵x∈[1,3],不等式f(x)≥0,只需
f(3)≥0,即k≤,这与k>6矛盾;若<1,即k<2,∵x∈[1,3],不等式f(x)≥0,只需f(1)≥0,即k≤5,∴k<2
.综上可知,则实数k的最大值为4.(解法二)由f(x)≥0恒成立,即x2-kx+4≥0,∴kx≤x2+4.∵x∈[1,3],∴k≤
x+.设g(x)=x+,则g''(x)=,∴g(x)在[1,2]上是减少的,在(2,3]上是增加的,∴在[1,2]上,g(x)∈[4
,5];在(2,3]上,g(x)∈.∴当x∈[1,3]时,g(x)的最小值为4.∵k≤g(x),则实数k的最大值为4.只需g(-1
)>0,且g(1)>0,即解之,得x<1或x>3.解题心得1.ax2+bx+c≥0(a≠0)对任意实数x恒成立的条件是ax2+bx
+c≤0(a≠0)对任意实数x恒成立的条件是解析:(1)因为任意x∈R,ax2+ax+1>0,所以必有或a=0,即0≤a<4.(
2)对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,则有即解得-,y∈[2,3]恒成立,所以a≥-2对任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立.令t=,由x∈[1,2],y∈[2,3],可知1
≤t≤3,所以a≥t-2t2在区间[1,3]上恒成立.令f(t)=-2t2+t,则f(t)=-2t2+t=-2.因为f(t)在区间
[1,3]上是减少的,所以f(t)max=f(1)=-1,所以a≥-1.当m≠0时,则即-4即(x2-x+1)m<6,∵x2-x+1>0,∴m<对于x∈[1,3]恒成立,只需求的最小值.记g(x)=,x∈[1,3],h(x)=x2-x+1=.∵h(x)在[1,3]上为增函数,则g(x)在[1,3]上为减函数,∴g(x)min=g(3)=,∴m<.故m的取值范围是.解设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则解得
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