1.3命题及其关系、充要条件--知识梳理考点自诊1.命题真假假真--知识梳理考点自诊2.四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互
之间的关系(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题(或).?②互逆或互否的两个命题真假性.?等价同真同假没有
关系--知识梳理考点自诊3.充分条件、必要条件与充要条件的概念充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要--知
识梳理考点自诊1.在四种形式的命题中,真命题的个数只能为0,2,4.2.p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.
其他情况依次类推.3.集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件?A?B;p是q的必要不充分
条件?A?B;p是q的充要条件?A=B.--知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)命题“
若α=,则tanα=1”的否命题是“若α=,则tanα≠1”.()(2)命题“若x2-3x+2>0,则x>2或x<1”的逆
否命题是“若1≤x≤2,则x2-3x+2≤0”.()(3)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关()(4)当q是p的必
要条件时,p是q的充分条件.()(5)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.()×√×
√×--知识梳理考点自诊A2.(2018天津,文3)设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的()A.充分而不必要条件B
.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由x3>8,得x>2.由|x|>2,得x>2或x<-2.故由x3>8可
以推出|x|>2,而由|x|>2不能推出x3>8,所以x3>8是|x|>2的充分而不必要条件.--知识梳理考点自诊B所以b=0,所
以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i?R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z
2∈R,而它们的实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.--知
识梳理考点自诊4.已知命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有()A.0
个 B.1个 C.2个 D.3个B解析:原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3
或x=5,故其逆命题“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题
,故选B.--知识梳理考点自诊D5.(2018河南郑州一模,3)下列说法正确的是()A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a
>1,则a2≤1”B.“若am21,则a2>1”的否命题是“若a≤1,则
a2≤1”,故A错;对于B,“若am2
0时,3x<4x,故C错.故选D.--考点1考点3考点2命题及其相互关系例1(1)已知原命题为“若为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真 B.假,假,真C.真,真,假 D.
假,假,假(2)(2018北京,文8)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,
(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)?AC.当且仅当a<0时,(2,1)?AD.当且仅当a≤时,(2,1)?AAD--考
点1考点3考点2--考点1考点3考点2思考由原命题写出其他三种命题应注意什么?如何判断命题的真假?解题心得1.写一个命题的其他三种
命题时,需注意:(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,则写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一
个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例即可.3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假
”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.--考点1考点3考点2对点训练1(1)命题“若x,y都是偶
数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不
是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”
,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,假,真 B.假,假,真C.真,真,假 D.假,假,假C
B--考点1考点3考点2解析:(1)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不
是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.(2)先判断原命题:当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a
+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=,所以原命题为真,故其逆否命题为真;再判断其逆命题,取z1=1,z
2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,所以其逆命题为假,故其否命题也为假,故选B.--考点1考点3考点2
充分条件、必要条件的判断(多考向)思考充分条件、必要条件的判断有哪几种方法?考向1定义法判断例2(2018北京,文4)设a,b,
c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件B--考点1考点3考点2考向2集合法判断例3“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:由ln(x+1)<0可得0-1等价转化法判断例4(2018首都师大附中月考,3)“a≤-1”是“函数f(x)=ax+2在区间[-1,2]上有零点”的()A.充
分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件A解析:若函数f(x)=ax+2在区间[-1,2]上有零点
?f(-1)f(2)≤0?(2-a)(2a+2)≤0?a≤-1或a≥2.∴“a≤-1”是“函数f(x)=ax+2在区间[-1,2]
上有零点”的充分不必要条件,故选A.--考点1考点3考点2解题心得充要条件的三种判断方法:(1)定义法:根据p?q,q?p是否成立
进行判断.(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:一是指对所给题目的条件进行一系列的等价转
化,直到转化成容易判断充要条件为止;二是指根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.--考点1考点3
考点2对点训练2(1)(2018浙江,6)已知平面α,直线m,n满足m?α,n?α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要
条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)“x2+5x-6>0”是“x>2”的()A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(3)(2018河北唐山二模,3)设m∈R,则“m=1”是“f(x)=
m·2x+2-x”为偶函数的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件ABC--考点1考
点3考点2解析:(1)当m?α,n?α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n?m∥α;但反过来不成立,即m∥α不一定有m∥n,m
与n还可能异面.故选A.(2)由x2+5x-6>0得{x|x>1或x<-6},{x|x>2}是{x|x>1或x<-6}的真子集,故
“x2+5x-6>0”是“x>2”的必要不充分条件,故选B.(3)如果f(x)=m·2x+2-x为偶函数,则f(-x)=f(x),
即m·2-x+2x=m·2x+2-x,∴m(2-x-2x)=2-x-2x,∴(m-1)(2-x-2x)=0,∴m=1,∴“m=1”
是“f(x)=m·2x+2-x”为偶函数的充要条件.故选C.--考点1考点3考点2充分条件、必要条件的应用D(1,2]--考
点1考点3考点2--考点1考点3考点2思考如何求与充要条件有关的参数问题?如何证明一个命题是另一个命题的充要条件?解题心得1.与充
要条件有关的参数问题的求解方法:解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解.2.充
要条件的证明方法:在解答题中证明一个命题是另一个命题的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.--考点1
考点3考点2对点训练3已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则
m的取值范围为.[0,3]解析:由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,即P={x|-2≤x≤10}.由x∈P是x∈S的必要
条件,知S?P,所以0≤m≤3.经检验,m=0,m=3均符合题意.故所求m的取值范围是[0,3].--考点1考点3考点2变式发散1
本题条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.解若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S.故不存在实数m,使x∈P是
x∈S的充要条件.--考点1考点3考点2变式发散2本题条件不变,若??P是??S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解由例
题知P={x|-2≤x≤10},∵??P是??S的必要不充分条件,--考点1考点3考点21.写一个命题的逆命题、否命题及逆否
命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真或同假的关系来判定.2.充分
必要关系的几种判断方法:(1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.(3)集合间关系法:设A={x|p(x)},B=
{x|q(x)},利用集合A,B的关系来判断.--考点1考点3考点21.当一个命题中含有大前提时,其他三种命题也必须含有该大前提,
也就是大前提不变.2.在判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式.3.判断条件之
间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.--思想方法——等价转化思想在充要条件中的应用等
价转化是一种重要的数学思想,体现了“把未知问题化归到已有知识范围内求解”的求解策略.本节内容蕴含着丰富的等价转化思想,对于一个难以
入手的命题,可以把命题转化为易于解决的等价命题,每一个等价命题都能提供一种解题思路.因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是等价转化的前
提,同时也是灵活解题的基础.--分析先求出p,q对应不等式的解集,再利用p,q之间的关系列出关于m的不等式或不等式组得出结论.--
----反思提升本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉
及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是解此类问题的关键.概念用语言、符号或式子表达
的,可以判断的陈述句?特点(1)能判断真假;(2)陈述句分类命题、命题?p?qp是q的条件,?q是p的条件?p?q,且q
pp是q的条件?pq,且q?pp是q的条件?p?qp是q的条件?pq,且qpp是q的条件?3.设有下面四个命题p1:若复数
z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,
则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4解析:p1:设z=a+bi(a,b∈R),则∈
R,C.存在x0∈(0,+∞),使成立D.“若sinα≠,则α≠”是真命题解析:(1)从原命题的真假入手,由于逆否命题均为真命题.(2)若(2,1)∈A,则化简,得所以a>.所以当且仅当a≤时,(2,1)?A,故选D.解析:ad=bca,b
,c,d成等比数列,例如1×9=3×3;a,b,c,d成等比数列??ad=bc.故选B.例5(1)已知不等式|x-m|<1成立的充
分不必要条件是0,命题
q:实数x满足若??p是??q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为.?解析:(1)由|x-m|<1,得m-1为|x-m|<1的充分不必要条件是q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件.又因为p:{x|aa的取值范围为(1,2].则所以∴P?S且SP.∴[-2,10]?[1-m,1+m],∴∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).(
2)等价法:利用p?q与q?p;q?p与p?q;p?q与q?p的等价关系.对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.典例已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且??p是??q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解(方法一)由q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,则q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.由≤2,解得-3≤x≤13,所以p:B={x|x>13或x<-3}.因为p是q的必要不充分条件,则A?B,所以即m≥12或m>12.故m≥12.(方法二)因为p是q的必要不充分条件,所以p是q的充分不必要条件.由q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,则q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.由≤2,解得-3≤x≤13,所以p:P={x|-3≤x≤13}.因为p是q的充分不必要条件,则P?Q,所以即m≥12或m>12.故m≥12. |
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