2.6对数与对数函数--知识梳理考点自诊1.对数的概念(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:?(2)a的取值范围.?对数指数真数
幂底数a>0,且a≠1--知识梳理考点自诊logaM+logaNlogaM-logaN--知识梳理考点自诊4.对数函数
的图像与性质(0,+∞)(1,0)增函数减函数--知识梳理考点自诊5.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数
(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线对称.?y=logaxy=x--知识梳理考点自诊1.对数的性质(a>0,
且a≠1,M>0,b>0)(1)loga1=0;(2)logaa=1;(3)logaMn=nlogaM(n∈R);2.换底公式的推
论(1)logab·logba=1,即logab=(2)logab·logbc·logcd=logad.3.对数函数的图像与底数大
小的比较如图,直线y=1与四个函数图像交点的横坐标即为相应的底数.结合图像知0第一象限内,从左到右底数逐渐增大.--知识梳理考点自诊××××√--知识梳理考点自诊2.(2018四川成都三模,5)已知
实数a=2ln2,b=2+ln2,c=(ln2)2,则a,b,c的大小关系是()A.ab D.c2,c=(ln2)2<1,∴c全国1,文13)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=.?-7解析:因为f(3)=log2(9+a)=
1,所以9+a=2,即a=-7.4.(2018上海,4)设常数a∈R,函数f(x)=log2(x+a),若f(x)的反函数的图像经
过点(3,1),则a=.?7解析:由题意可知f(x)的图像经过点(1,3),则有log2(1+a)=3,所以a=7.--知识梳
理考点自诊-2∴g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,∴g(x)为奇函数.∴f(x)=g(x)+1.∴f(a)+f(
-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2.∴f(-a)=-2.--考点1考点3考点2对数式的化简与求值例1化简下列各式:思考对数运
算的一般思路是什么?--考点1考点3考点2解题心得对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂
的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化
为同底对数真数的积、商、幂的运算.--考点1考点3考点2D4--考点1考点3考点2对数函数的图像及其应用B--考点1考点3考点2
--考点1考点3考点2(2)函数f(x)的图像如图所示,令y=5-mx,则直线y=5-mx过点(0,5),--考点1考点3考点2思
考应用对数型函数的图像主要解决哪些问题?解题心得应用对数型函数的图像可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数
型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图
像问题,利用数形结合法求解.--考点1考点3考点2DA--考点1考点3考点2设曲线y=x2-2x在x=0处的切线l的斜率为k,由y
''=2x-2,可知k=y''|x=0=-2.要使|f(x)|≥ax,则直线y=ax的倾斜角要大于等于直线l的倾斜角,小于等于π,即a
的取值范围是[-2,0].--考点1考点3考点2--考点1考点3考点2对数函数的性质及其应用(多考向)考向1比较含对数的函数值的
大小例3(2018天津,文5)已知,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b
思考如何比较两个含对数的函数值大小?D--考点1考点3考点2考向2解含对数的函数不等式B思考如何解简单对数不等式?--考点1
考点3考点2考向3对数型函数的综合问题BA.(-1,3) B.[-1,3]C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.(-∞,-1
)∪(3,+∞)--考点1考点3考点2--考点1考点3考点2思考如何理解若存在实数a,使得f(x)+g(b)=2成立?若知f(x)
的范围能否得到关于b的不等式关系?解题心得1.比较含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比较含对数的自变量的大小,
同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数相同的可以借助函数的图像;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).2.解简单对数不等式
,先统一底数,再利用函数的单调性,要注意对底数a的分类讨论.3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要明确底数a对增减性的影响,以
及真数必须为正的限制条件.--考点1考点3考点2AA.a(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)(3)已知函数f(x)
=ax+logax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为.?2--考点1考点3考点2(
3)显然函数y=ax与y=logax在[1,2]上的单调性相同,因此函数f(x)=ax+logax在[1,2]上的最大值与最小值
之和为f(1)+f(2)=(a+loga1)+(a2+loga2)=a+a2+loga2=loga2+6,故a+a2=6,解得a
=2或a=-3(舍去).--数学核心素养例释——逻辑推理1.逻辑推理的概念:是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思
维过程.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎.2.逻辑推
理的作用:逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.--典
例1(2013全国2,理8)设a=log36,b=log510,c=log714,则()A.c>b>a B.b>c>aC.a>c
>b D.a>b>c答案:D解析:(法一)a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+
log72,由右图可知D正确.--评析:解法一中先对a,b,c进行变形,判断大小的前提是函数的图像;解法二中先对a,b,c进行变形
,判断大小的前提是函数y=log2x在(0,+∞)上为增函数.--典例2(2016全国乙,理8)若a>b>1,0)A.ac前提是函数的单调性.--典例3(2017全国1,理11)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5z B.
5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z答案:D解析:由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln2=yln
3=zln5.可得2x<5z;所以3y<2x<5z,故选D.评析:本例中的每步运算都属于演绎推理,即由大前提、小前提,然后推出结
论.--典例4(2018全国3,理12)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+bb<0C.a+b<00,b=log20.3<0,∴ab<0.而
lg2-1<0,2lg2-1<0,lg3-1<0,lg2>0,∴a+b<0.∴ab形,使这符合推理的条件,这是进行逻辑推理所必须的要求.--1.多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通过图像与直线y=1交点的横坐
标进行判定.2.研究对数型函数的图像时,一般从最基本的对数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和
0解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.--1.在
运算性质logaMn=nlogaM中,要特别注意M>0的条件,当n∈N+,且n为偶数时,在无M>0的条件下应为logaMn=nlo
ga|M|.2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)定义域优先的原则.(2)要有分类讨论的意识.2.对数的性质与运算法则(
1)对数的运算法则如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)=;?②loga=;?(2)对数的性质:=N(a
>0,且a≠1).3.换底公式logbN=(a,b均大于零且不等于1).函数y=logax(a>0,且a≠1)a>10性质定义域:?值域:R过定点?当x>1时,y>0;当01时,y<0;当00在(0,+∞)内
是?在(0,+∞)内是?(4)lobn=logab(m≠0).;1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)l
og2x2=2log2x.()(2)函数y=log2x及y=lo3x都是对数函数.()(3)当x>1时,若logax>lo
gbx,则alogax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),.()5.(2018全国3,文16)已知函数f(x)=
ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.?解析:令g(x)=ln(-x),g(-x)=ln(+x),(1)lg+lg7
0-lg3-;(2)log3·log5.解(1)原式=lg=lg10-=1-|lg3-1|=lg3.(2)原式=log3
·log5[10-(]=(log3-1)·log5(10-3-2)=·log55=-.对点训练1(1)(log29)·(log34
)=()A.B.C.2D.4(2)若函数f(x)=则f(3)+f(4)=.解析:(1)(log29)·(log34)==4.
(2)∵f(x)=∴f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,∴f(3)+f(4)=2+log69+log64
=2+log636=2+2=4.例2(1)(2018河南郑州三模,12)已知函数f(x)=若正实数a,b,c互不相等,且f(a)=
f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是()A.(e,2e+e2)B.(+2e,2+e2)C.(+e,2+e2)D.(+e,
2e+e2)(2)(2018河南郑州一模,14)已知函数f(x)=若不等式f(x)≤5-mx恒成立,则实数m的取值范围是.?解
析:(1)画出函数f(x)=的图像,如图所示,设a当x>e时,y=2-lnx递减,且与x轴交于(e2,0),∴ea趋近于1时,b趋近于1,c趋近于e2.则a+b+c的取值范围是(+2e,2+e2).当直线过点(1,2)时,则2=5-m,m=3
,y=5-3x在x轴上的交点为(,0),不满足不等式f(x)≤5-mx恒成立,两点(0,5),(2,0)的斜率为-,只有当-≤-m
≤0时,即0≤m≤时,不等式f(x)≤5-mx恒成立.对点训练2(1)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(
)A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0](2)(2018河北衡水中学考前仿真,文12)已知方程-|log
3(x-1)|=0有两个相异实根x1,x2,则()A.x1·x2x1·x2>x1+x2解析:(1)由题意可知y=|f(x)|=作出图像如图所示.(2)∵方程-|log3(x-1)|=0有两个相
异实根x1,x2,∴y=与y=|log3(x-1)|的图像有两个交点,且两交点横坐标分别为x1,x2,不妨设x1系中作出y=与y=|log3(x-1)|的图像,由图像得10,则log3(x1-1)=-.-|log3(x2-1)|=-log3(x2-1)=0,则log3(x2-1)=,log3(x2-
1)+log3(x1-1)=log3[(x2-1)(x1-1)]=<0.∴0<(x2-1)(x1-1)<1,整理得x1·x2+x2.a=log3,b=,c=lo解析:∵a=log3>log33=1,b==1,∴a>b.∵c=lo=log35,a=log3
,∴c>a.∴c>a>b.例4(1)(2018福建龙岩模拟,12)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(2x)>f(x-
1)成立的x的取值范围是()A.(,1)B.(-∞,-1)∪(,+∞)C.(-)D.(-∞,-)∪(1,+∞)解析:函数f(x)
=ln(1+|x|)-的定义域为R,且f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=ln(1+x)-递增,∴f(
2x)>f(x-1)等价于|2x|>|x-1|,不等式两边平方,得3x2+2x-1>0,解得x>或x<-1,故答案为B.例5(20
18山东烟台一模,12)已知函数f(x)=g(x)=x2-2x-.设b为实数,若存在实数a,使得f(x)+g(b)=2成立,则实
数b的取值范围为()解析:当x<-1时,f(x)=,∵x<-1,∴-1<<0,∴-≤f(x)<0.当x≥-1时,f(x)=ln(
x+2)单调递增,∴f(x)≥f(-1)=0.综上可得f(x)≥-.若存在实数a,使得f(x)+g(b)=2成立,则g(b)=2-
f(x)≤2-,即b2-2b-,整理得b2-2b-3≤0,解得-1≤b≤3.∴实数b的取值范围为[-1,3].故选B.对点训练3(
1)(2018河北衡水中学月考,8)设a=log54-log52,b=ln+ln3,c=1,则a,b,c的大小关系为()(2
)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()解析:(1)由题意得,a=log54-log52=log52,b=ln+ln3=ln2,c=1.得a=,b=,而log25>log2e>1.所以0<<1,即01.故a1或-12,所以B错;因为log3=-log32>-1=log2,所以D错;因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确.故选C.由>1,可得2x>3y;再由<1,=log0.32+log0.30.2=log0.30.4
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