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上一篇文章我们提到了生存分析中的参数回归和非参数回归，非参数回归简单易用，但如果你想求一个最佳的拟合效果或预测效果，可能参数回归更能体现你的意图（当然，前提是你能把握好生存分析的分布）。 非参数回归当然以cox回归名气最大，而参数回归中，很可能就是以Weibull回归最为知名了。上一篇我们提到了最基础的参数回归——指数回归。 指数回归很容易理解，然而实际中用的却不多，最主要就是因为它的假定太过于理想化。它假定死亡风险不变，例如，吸烟对肺癌发生的风险，如果要用指数回归，需要假定在任何时候（起码在研究的时间范围内），吸烟对肺癌的风险都是不变的，如果30岁时吸烟对肺癌的风险是1.2，那么，到了31岁、32岁、……、80岁，吸烟对肺癌的风险还是这么大。 由于指数回归的这一假定很难在实际中满足，因此实际中用的不多。多数情况下，实际中某因素的风险都是变化的，比如，可能30岁时候风险是1.2，到了50岁，就变成1.8了，等等。 今天我们要讲的Weibull回归，就放宽了指数回归的假定，可以允许某因素的死亡风险随时间变化，因此实际中更为常用。 1、Weibull分布 通常对于参数回归而言，想要放宽条件，就是通过增加参数来实现。指数回归中，其分布只有1个参数，所以它的条件必定很苛刻。正因为如此，Weibull回归在分布中增加了一个参数，通过2个参数来调节。 第一个参数，与指数分布一样，也是风险参数λ。λ越大，生存曲线下降越快。如下图显示了生存曲线随λ 不同取值的变化。 第二个参数，是一个控制形状的参数，所以叫形状参数，用p表示。p<1 表示多数病人较早死亡，少数人生存时间较长；p>1表示早期死亡例数较少，后期死亡数较多；p=1表示病人死亡数不随时间变化，此时相当于指数分布。如下图显示了生存曲线随p不同取值的变化。 不难看出来，通过增加了一个形状参数p，Weibull分布可以允许死亡风险发生变化。当p取不同值的时候，死亡风险有不同的变化（下图）。当p<1的时候（如0.5），可以看出，死亡风险一开始很大，后来慢慢变低；当p>1的时候（如p=4），死亡风险一开始较低，后来慢慢增大。 但有一种特殊的情况是，当p=1的时候，死亡风险仍然是不变的，也就是说，这种情况下相当于是指数分布。换句话说，指数分布是Weibull分布的特例，当Weibull分布中的p=1的时候，退化为指数分布。 2、Weibull回归分析 所以，如果你分析数据时，根据专业觉得可能死亡风险是变化的，可以考虑Weibull回归。那么Weibull回归分析结果长什么样呢？其实跟普通回归没什么太大区别，也是给出截距、各影响因素的参数估计值。如果说唯一有不同的地方就是，它还给出了Weibull分布的参数。 事实上，当你拟合Weibull回归的时候，软件都会给出相应的参数。这时候仔细观察一下参数p就很有意思。比如下面的Weibull回归结果（stata软件结果）： 你会发现p=1.72，而且从置信区间来看，明显大于1。这说明了两件事：第一，既然p从统计学上来看不等于1，说明这不是指数分布，而是Weibull分布。第二，既然p大于1，说明在这个数据中，死亡风险一开始较低，后面逐渐增大。从生存角度则说明，一开始死亡人数可能较少，后面反而死亡人数越来越多。 如果你直接用cox回归，当然也会有参数估计值，但是没有p这些参数的估计结果。信息量就大打折扣。 当然也可以利用图形更直观地显示死亡风险情况。比如下图中比较了指数分布（绿色）和Weibull分布（粉色）的拟合情况（JMP软件结果），不难看出，Weibull分布更接近生存数据（黑色点）。 下面的图则给出了指数分布（绿色）和Weibull分布（粉色）的死亡风险情况。可以看出，指数分布中，死亡风险不变，而Weibull分布中，死亡风险是递增的。 同样，这些也是cox回归无法给出的。所以，关于生存分析的影响因素分析，绝不是cox回归的天下。有时如果你能发现生存数据的一些规律，也许会更有实际价值，而不是仅仅简单地给出参数估计值有没有统计学意义。有时也许生存本身（而不是解释因素）更值得研究。 当然，Weibull回归也不是万能的，如果你仔细观察，你会发现，虽然Weibull回归允许死亡风险变化，然而其变化要么是单调递增，要么是单调递减，也就是说，要么上升，要么下降，没有先升后降这种趋势。这也算是一种遗憾。如果你发现死亡风险不是简单的上升或下降，那Weibull回归仍不足以拟合你的生存数据，还需要更复杂的参数回归，比如log-logistic回归。 |
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