有这么一个故事,曾经在一些国际数学家聚会中流传。他们把这个故事里提出的问题,叫做' 现在,我把这个故事写在下边,作一些分析说明。 有一个一元二次方程。它的两个根都是大于1的正整数,而且两根的和不超过40。这个方程写出来是:x²-px+q=0(纸上p、q处写的是数)。 有人把写有这个方程的纸条从中间撕开,把带有数p的一半给了数学家甲,把带有q的另一半给了外地的数学家乙。 于是,甲知道了两根的和(p),乙知道了两根的积(q)。 过了一会儿,甲打电话告诉乙说:'我断定,你一定不知道我手中的p。' 又过了一会儿,乙回电活说:'可是,我已经知道你的p是多少了。' 又过了一会儿,甲回电话说:'我也知道你的q了。' 请问:这个方程的两个根是什么? 这个问题,怪就怪在没有已知数,好像很难。其实,仔细看明问题,经过一番分析,用算术知识便能解答。 关键在于:甲所说的'你一定不知道我手中的p'意味着什么。 它意味着p一定不能写成两个素数的和。 因为p=a+b,要是a、b都是素数,那么,乙手中拿到的q,就有可能是ab,要是q=ab,q就只有一种分解因子的方法,乙便知道手中的p了。 注意!甲断定,乙一定不知道p。这就是说乙手里拿的q,一定不是两个素数的积。也就是说甲自己拿到的p,不是两个素数的。 这样,乙就可以一个一个地检查,在4到40之中,把不能分成两个素数的和的数,全部找出来。它们是: 11、17、23、27、29、35、37。 现在,乙已经知道甲手中的不外乎是这7个数了。 那么,甲、乙手里是什么数时,乙能准确地说出甲手中的p,同时甲又能准确地说出乙手里的q呢? 先看11。 要是乙手里是18、24或者28,那么,因为 18=2×9=3×6,只有2+9在这7个数之中; 24=3×8=2×12=4×6,只有3+8在这7个数之中; 28=4×7=2×14,只有4+7在这7个数之中; 可见,乙手里拿到18、24或者28,都能断定甲手中是11;可是这时,甲却不能断定乙手里是18,还是24,还是28。 所以,甲手里不是11。 再看23。 130=10×13=5×26=2×65,只有10+13在这7个数之中; 126=14×9=7x18=……只有14+9在这7个数之中。 可见乙手里拿到130或者126,都能断定甲手里是23;可是这时,甲却不能断定乙手里是130,还是126。 所以,甲手里不是23。 同样的道理,甲手里不是27,不是29,不是35,不是37。最后,只剩下一种可能:甲手里拿到了17。 甲手里的p是17,乙手里可能拿到: 30=2×15,42=3×14,60=5×12,66=6×11, 70=7×10,72=8×9,52=4×13。 要是乙拿到30,30=5×6,5+6=11,乙就不能断定甲有到的是11,还是17。 所以,乙拿到的不是30。 同样的道理,乙拿到的不是42,不是60,也不是66、70、72。最后,只剩下一种可能:乙拿到的是52。 52=4×13=2×26。因为2+26=28,不在这7个数之中,所以乙可以断定甲拿到了17。 结果,这个方程的两个根是4和13。 以上解决问题的方法叫做枚举法,又叫做穷举法,就是把各种可能加以分析,从中找出解答。 许多实际问题,现在只能用枚举法来解决,这是无可奈何的办法。所以,它也可以算是一种解题的好办法。 注:节选自《帮你学数学》,张景中著,中国少年儿童出版社。 |
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