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hello，大家好。青山不改，绿水长流，咱们又见面了，我就是传播知识传播爱的吴老师。在学习全等的时候经常会发现有的同学老师重复的在一些原题上犯错误，好一点的可能是原题上不会出错，但是题目稍微变形一下就会一脸懵逼。究其原因我觉得是学习没有真正的发生，对于一道题目没有真正的吃透！  有同学经常会问老师为什么你做题如此之快？是做题都做的麻木了么？我想说的是大量的做题只是一个基础，更重要的是老师做题的高度会更高一点，题目条件会分析的更透彻一点。会去揣摩出题人的意图，会去预判题目的陷阱，会去总结题目的思路。其实有不少的优秀的同学能够做到这几点，所以做题不在多而在精，一通百通才是学习的最高境界。那今天咱们就来剖析一下，在全等三角形里面非常重要的夹半角模型。夹半角模型：顾名思义，从等腰三角形的顶点引出两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，我们把这个模型称为夹半角模型。  例如上图就是最常见的也是最简单的夹半角模型图，正方形夹45°，当然常见的还有等腰三角形夹半角，正三角形夹半角等等。接下来我们在由上图来剖析一下夹半角模型的三个重要条件：1：大角夹半角（不一定非得90°夹45°，只需要夹半角即可）2：大角两边相等（正方形，等腰三角形其实都是委婉的告诉你大脚两边相等）3：其中会出现互补角这个条件（比如上图中的角B和角D为一组互补角）解题思路：通过旋转或者补短方式，构造出全等三角形，再通过二次全等证明线段之间的关系。那我们接下来如何利用上面总结的方法去解题呢？咱们一起来继续剖析！小试牛刀：如图在正方形ABCD中，点E,F分别在BC ,CD上，∠EAF=45度，求证:EF=BE+DF.  分析：90度夹45度，∠BAD两边相等，∠B和∠D互补。三个条件均满足，典型的夹半角模型。辅助线添加：如丧图通过不断法添加辅助线构造出三角形GAB和三角形FAD全等。证明过程：∵AB=AD(大角两边相等条件用上)∠GDA=∠FAD(通过互补角条件加上平角很容易推出)GB=FD(辅助线)∴GAB≌FAD(一次全等)又∵AG=AF(已证)∠GAE=∠FAE(夹半角条件可以用上，很容易推导)AE=AE(公共边)∴GAE≌FAE(二次全等)∴EF=GE=GB+BE=DF+BE(得证)如果这一道题学生只满足于解出来，那么你还是太年轻了，其实这个模型图里面有很多的结论可以综合记忆理解。  这道题的结论总结如下：  能够将以上的8个结论全部证明出来的才算吃透这个夹半角模型，才算是真正的学霸级同学，学习才真正的发生了。欢迎大家尝试全部证明出来。那我们接下来再来看看其他形式的夹半角模型：正三角形内夹半角：   这道题的分析思路和解题思路完全正方形那道题一致，大家可以验证着去理解夹半角模型三个条件怎么去应用，这里我就不再一一赘述。等腰直角三角形夹半角：   所以吃透题目本质才是学习的关键，无论题目怎么变，考查的知识点永远不会变，所以真正的把该掌握的东西掌握牢固，才能够以不变应万变，最后留一道中考改编题给大家练练手。（2010重庆改编）等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．（I）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_____________；此时___________；（II）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=_________（用、L表示）． |
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