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数学笔记-同济第七版高数(上)-第一章-函数与极限-函数极限

2019-07-31  当以读书...

1、自变量趋向有限值时函数极限定义

对于一个函数f(x)

all ε>0, exist δ>0, 当0<|x-a|<δ, 有|f(x)-A|<ε

就称lim(x->a)f(x)=A


也就是说,对于任意小的一个数ε,都会存在一个范围,这个范围就是a的δ去心邻域,也就是0<|x-a|<δ,这个范围里面多有函数值和A之间的“误差”都小于A,就称A是x趋向于a的极限

2、性质

(1)唯一性

(反证法)可以参考前面数列极限的证明方法

(2)局部有界:lim(x->a)f(x)=A, 则exist δ>0 M>0, 当0<|x-a|<δ 时,|f(x)|<=M

这个相比较数列极限全部有界来说证明方法较简单

由函数极限定义可知在0<|x-a|<δ这个范围内f(x)与极限A的“误差”不超过ε,所以当M=max{|A+ε|,|A-ε|}时,|f(x)|<M (0<|x-a|<δ)

(3)保号性:如果lim(x->a)f(x)=A, 且A>0, 那么存在常数δ>0, 使得当0<|x-a|<δ时,有f(x)>0,反之也成立。

证(A>0时):

∵lim(x->a)f(x)=A

取ε=A/2>0 (ε可以任意取,越小越好)

exist δ>0

当0<|x-a|<δ时,|f(x)-A|<ε

即|f(x)-A|<A/2

可得f(x)>A/2>0

即证在0<|x-a|<δ这个范围内,f(x)都是大于0的。

3、Notes

(1)x->a并不是x=a

(2)x->a包括x->(a+0),x->(a-0)

(3)lim(x->a)f(x)与f(a)无关!!!

(4)lim(x->a)存在的充分必要条件是 f(a-0),f(a+0)存在且相等

数学笔记-同济第七版高数(上)-第一章-函数与极限-函数极限

4、自变量趋向于无穷大函数极限

(1|正无穷)If all ε>0, exist X>0,当x>X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->+∞)f(x)=A

(2|负无穷)If all ε>0, exist X>0, 当x<-X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->-∞)f(x)=A

(3|无穷)If all ε>0, exist X>0, 当|x|>X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->∞)f(x)=A

5、例题

例1:lim(x->2)(3x+1)=7

all ε>0 |(3x+1)-7|=3|x-2|<ε <=> |x-2|<ε/3

exist δ=ε/3

当 0<|x-2|<δ时, |(3x+1)-7|<ε

∴lim(x->2)(3x+1)=7


例2:lim(x->1)(2x^2-x-1)/(x-1)=3

all ε>0 |(2x^2-x-1)/(x+1)-3|=2|x-1|<ε <=> |x-1|<ε/2

exist δ=ε/2

当 0<|x-1|<δ时, |(2x^2-x-1)/(x+1)-3|<ε

∴lim(x->1)(2x^2-x-1)/(x-1)=3


例3:lim(x->∞)(2x^2)/(x^2)=2

all ε>0 |(2x^2)/(x^2)-2|=1/(x^2)<ε <=> |x|>1/(√ε)

exist X=1/(√ε) (ps:前面对于趋向无穷时定义就是用X表示的)

当|x|>X时 |(2x^2)/(x^2)-2|<ε(无穷情况是|x|>X,正无穷情况是x>X,负无穷情况是x<-X)

∴lim(x->∞)(2x^2)/(x^2)=2

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