1、自变量趋向有限值时函数极限定义对于一个函数f(x) all ε>0, exist δ>0, 当0<|x-a|<δ, 有|f(x)-A|<ε 就称lim(x->a)f(x)=A 也就是说,对于任意小的一个数ε,都会存在一个范围,这个范围就是a的δ去心邻域,也就是0<|x-a|<δ,这个范围里面多有函数值和A之间的“误差”都小于A,就称A是x趋向于a的极限 2、性质(1)唯一性 (反证法)可以参考前面数列极限的证明方法 (2)局部有界:lim(x->a)f(x)=A, 则exist δ>0 M>0, 当0<|x-a|<δ 时,|f(x)|<=M 这个相比较数列极限全部有界来说证明方法较简单 由函数极限定义可知在0<|x-a|<δ这个范围内f(x)与极限A的“误差”不超过ε,所以当M=max{|A+ε|,|A-ε|}时,|f(x)|<M (0<|x-a|<δ) (3)保号性:如果lim(x->a)f(x)=A, 且A>0, 那么存在常数δ>0, 使得当0<|x-a|<δ时,有f(x)>0,反之也成立。
3、Notes(1)x->a并不是x=a (2)x->a包括x->(a+0),x->(a-0) (3)lim(x->a)f(x)与f(a)无关!!! (4)lim(x->a)存在的充分必要条件是 f(a-0),f(a+0)存在且相等 4、自变量趋向于无穷大函数极限(1|正无穷)If all ε>0, exist X>0,当x>X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->+∞)f(x)=A (2|负无穷)If all ε>0, exist X>0, 当x<-X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->-∞)f(x)=A (3|无穷)If all ε>0, exist X>0, 当|x|>X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->∞)f(x)=A 5、例题
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来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》