猜猜哪里的朋友关注最多? 最值类问题种类繁多,是初中常用的压轴题素材,今天就来看一类对称运动中的最值问题的处理思想:地位对等思想。所谓对称性运动,就是动点问题中的图形(不含动点相关)是对称的。 这类问题的最值一般都在中间平衡态取到!!! 比如 基础最值中的对称: 01点点距离 是不是对称,只有两个点当然是对称(不看动点相关),对称运动一般运动到中间平衡态时取到最值。这就是快速解决对称型动点的诀窍!!! 02点线距离 点和线是不是对称?显然是,动点左右对称,也可以说点在左边和在右边运动地位对等。也是在中间平衡位置取到最小值! 03点圆距离 一样是在中间态最值!最大最小都是动点在对称轴上的时候! 04线线距离 这个对称轴有无数,所以最小值也有无数情况! 05线圆距离 也是对称,不过只有最小值,没有最大值 06圆圆距离 依然是对称 不要看这几个简单,最值问题最后基本都会转化为这几个基本型的。 通过对这几个基本型的对称运动观察,我们总结出:对称型运动,最值基本都在中间平衡位置取到(不过最大还是最小需要自己分析)。对称型运动一定地位对等,地位对等不一定对称,当然这个对称也可以是中心对称,或更高意义的对称! 稍复杂的地位对等: 之前也做过: 定角定高就是: 什么叫定角定高,如下图,直线外一点P,P到直线距离为定值(定高),角APB为定角。则AB有最小值。(下图角为90度时) 左右对称,在中间态取到最小值 一般度数也是这样 钝角的时候也是对称:
(点击查看) 还有定弦定角中的问题: 思考一下,一个三角型的底为定长,其所对的角为定角,那么它的面积有没有最大值? 轨迹圆啊,对称啊,在中间最大啊! 显然高最大时,也就是图中D点最高的时候面积最大: BC往上挪一挪依然成立: 那么再思考一下,这个三角形的周长有没有最大值,在哪里取到呢? 这依然是对称,所以DB,DC地位对等,单线段最值只要图形对称,就地位对等,双(多)线段的地位对等不仅仅要图形对称,线段的权重(前面的系数)也要一样。 所以可以大胆猜测还是在中间周长最大! (点击查看) 当然对称,地位对等不一定是两条线段,也可以是多条,比如等边三角形的费马点,就在它的中心,就是因为三条线段地位对等! (点击查看) 还有: 如下图固定的120度等腰三角形ABC中,D为中点,DEF面积最小问题 对称,所以在正对的时候最小 可以用旋转转化为定角定高 此时最值: |
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