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C. Villani 谈数学之美

2019-08-15  wenxuefen...

Cedric Villani(卫兰尼),现任法国里昂高等师范学校教授、庞加莱研究所主任。1998年以研究玻尔兹曼方程和分子运动论获得巴黎高等师范学院博士学位,2010年凭借证明了玻尔兹曼方程的非线性阻尼以及收敛于平衡态获得菲尔兹奖。本文是他在FUTURE FORUM的主题演讲。

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Cedric Villani

我们知道,爱因斯坦用物理学的方式简化了很多东西与数学的关系。首先,他自己作为物理学家,将数学家和物理学家联系在了一起。其次,他用简单的数学形式改变了我们描述世界、描述空间和时间的方式。第三,他同样也建立起了数学和物理之间的桥梁。

事实上,有时候我们需要对数学深入研究,而有时候是对物理进行研究。我们找到的东西就在我们的头脑中,而所有的这些都可以归结到数学之美。数学中有很多非常让人震惊的东西。我们来看6年前,也就是2009年的时候,你认为所有的工作中最好的是什么?《华尔街日报》的调查说,数学家是全世界最好的工作。之后,在去年,同样的团队重新做了这项研究,得出了相同的结论。

我试着解释一下,为什么数学家是最好的工作。数学家无处不在,并且有越来越多的数学家存在于我们的身边、存在于技术中、存在于新的数学、老的数学中。并且,我们会将之前数学家的工作运用到新的研究工作中,我们还在用越来越多的数学工具来研究所有的物理学分支。

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华尔街日报选出的最好工作及最差工作

在各个领域中,我们都在使用数学,它无处不在。有很多的数学已经进入了到我们的科技中,物理、化学、生物学都和数学紧密地联系在一起。我们来看建筑学,数学在建筑中发挥着非常重要的作用。在建筑中我们发现了非对称之美,比如说给定一个建筑物,我们必须用计算机来模拟计算它的不对称情况,以确保它不会出现坍塌。

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路易威登在巴黎Bois de Boulogne公园兴建的创意基地

我们看过一些经典的电影也是这样。例如《地心引力》可能是最具有数学性的电影【注:在《星际穿越》之前】。在电影中,所有事物都得通过计算来重现。包括方程式、包括等式、包括像演员的脸都是通过数学算法模拟出来的。是数学让这个电影成为可能。

曾经在一个数学家大会上,一位好莱坞电影导演讲到了这个现象。他说好莱坞的大片很多是运用了数学的原理才能够制作出来的。但是数学不仅仅是做一个东西,或者说是解决一个问题,也不仅仅是制作一部电影,它意味着理解这个世界的奥秘,理解自然之美。从我们过去的古希腊数学,从过去的那些老的数学和工具,一直到现代的新的数学,数学让我们理解真实和美丽的真谛。

我们可以看一下这些数学家和哲学家的面孔。他们一直在探索世界之迷,他们一直在发现,一直在探索。我们可以看到始于2000多年前的很多翻译的著作。这五张图片中都是最为睿智的数学家。

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古希腊哲学-数学家(左起):泰勒斯,毕达哥拉斯,欧几里得,阿基米德,埃拉托色尼

泰勒斯,人们经常说的第一位哲学家;毕达哥拉斯,他认为世界充满了数学之谜等待人们探索;欧几里得,他写了流传两千多年的《几何原本》;阿基米德,他是数学天才的象征,他的头像被刻在了菲尔兹奖章上;埃拉托色尼,他用数学改变了我们描述这个世界的方式。

那么数学究竟是什么呢?数学归根结底是一种推理方法。比如说我们在处理这个古希腊的三角形几何的时候——顺便提一句,这也是爱因斯坦最感兴趣的一个话题,爱因斯坦对它的发展也作出了重大的贡献——会发现数学无处不在,它可以让你感受到美的存在。三角形有很多的奥秘,比如说我们从哪条线可以达到中心,如何去进行证明,等等。我们可以用美的数学证明,来解决美的自然奥秘。

我们看一下亚里士多德对美是如何阐释的:美的主要形式是一种秩序,是一种可公度性和一种精准性。右边这位是法国数学家庞加莱,他说深刻的美来自于各部件的一种和谐的秩序。通过一种秩序,一种有序的推理和理解,我们能够找到深刻之美。

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亚里士多德与庞加莱对美的阐释

我们来看,在埃及有一个地方,在某一天太阳会垂直照射在物体上。数学家埃拉托色尼(Eratosthenes,公元前275年一前193年)就对太阳光的照射角度进行几何的解释和探索。由于正弦值和弧度值之间的差异,我们会发现在他的判断中还有了2%的误差,但这在两千年前已经很不容易了。因为数学,让希腊的科学家们很早就知道了地球直径是39375公里这么长。

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埃拉托色尼测量地球直径示意图

数学让我们有了更多的想象,它超越了这些公式本身,让我们知道地球有多大,让我们知道地球是圆的,可以从一端走到另一端。

容易发现上述的是一种对空间的测量。那么如何测量时间呢?在很长的一段时间里,对于时间的测量是基于一种机械性的测量,如下图,它非常地聪明、精确,只有百分之一的误差。但是一天可能误差会有十分钟。

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早期机械表示意图

在17世纪,当考虑单摆的时候,伽利略(GalileoGalilei,1564-1642)发现其摆动周期是与摆体质量无关的。这个关系是非常美的。后来基于牛顿力学我们就可以得到如下图左边的关系式。我们可以进行极好的、极精确的计算,对此进行研究。但是有一天,他在想如何去使用这种方法来测量时间时出现了问题。我们知道当摆的幅度增大时,摆动周期会有轻微的不同。所以我们需要一个等时的曲线。

如下所谓的等时曲线(tautochronouscurve),是由惠更斯发现的曲线。物体如果按照这个曲线的轨迹摆动,其周期不会随摆动幅度的改变而发生变化。这是数学计算得到的结果。基于此,人们就可以得到更为精确的测量方法,比以往的任何时候都更加精确。这就是数学带来的魅力。

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单摆和惠更斯摆示意图

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Cedric Villani 展示单摆

我们使用像惠更斯理论这样的数学还可以做其他的事情,这将进一步提升我们使用数学的能力。比如说,我们仍然考虑地球形状这个问题。牛顿当时也听过这样一个测量方法,通过他的微分方程我们发现对时间的测量是依赖于当地重力加速度的。下图中通过在巴黎和在卡宴【法属圭亚那首府】的测量,我们可以根据牛顿的理论得出地球的扁平率为0.5%,而实际上是0.3%。所以由此我们其实可以对地球的形状做出一个更好的判断。

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摆周期测量地球扁平率示意图

通过数学,我们可以对我们的世界有更好的了解与感知。我们看到了数学研究的巨大进步和对于时空测量的巨大进步。实际上这进步是和物理无关的,而和数学有很大的关系。

这里值得一提的是曲线、曲率的概念。不管怎么说,最初它是一个数学概念。这个数学概念在不断地演变,因为我们知道不同的人正在不断地推动数学和科学的发展。进而我们就有黎曼的流形理论,这是19世纪末、20世纪初的事情。此后不久,爱因斯坦开始处理广义相对论的问题,事实上最开始他还在考虑平坦曲率的问题。然后他遇上了他的数学家朋友格罗斯曼。

他们的讨论让两人发现,爱因斯坦需要的正是黎曼的理论,下图中黑板上写的就是他所谓的爱因斯坦方程,R代表的就是曲率。也许他们两个人都没有想到,这个方程式会对时空的测量起到如此巨大的作用。下图中的GPS定位系统如果没有广义相对论的校正,将会产生~1米量级的误差。这些理论非常地重要,为我们照亮了前行的路。

顺便提一下,爱因斯坦本人并不能够完全相信黑洞,虽然他的理论表明了黑洞的存在。这是数学的预言。

同样的数学会与不同的事物发生联系。例如对于我来说,我做的一个研究的结果是,我发现了一些数学理论与很多经济现象有着紧密的联系。比如说在一些工业中运送货物时的优化问题中,我们也会用到黎曼几何。

更有趣的是,在气体理论中,很多不同的理论解决着不同的问题,但冥冥中也有一些联系。有很多的作者发现了这些联系,包括在那些与几何相关的问题中。

我借用下图这个惰性气体实验来说明。这是爱因斯坦当时非常喜欢的一个实验。想象你有一些质量给定的气体,从第零到第一分钟,让这些气体从一个状态转变到另外一个状态。这些气体的运动方式将消耗最少的能量。在它们转变的时候,你用波尔兹曼的理论来测量它们的熵,会发现它是一条上凸的曲线。这种对正曲率的描述方式与我们常见的爱因斯坦的方式是完全不同的。

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惰性气体实验与熵随实验的函数关系

再举一个例子来说明不同事物之间的联系。现在我们知道,黎曼如此有名,提出了很多理论,他死后,他的理论在很多地方仍然有应用,且互相之间有着很多的联系。他死的时候40岁,活得如此短,而他本人却是一个非常浪漫的、富有启示性的人物。不管你信不信,我看到过一个非常有名的摇滚歌手曾经说,当他缺乏灵感时,他就会查看带黎曼二字的学术名词。这真是件有趣的事情。

我想最后总结一下。科学的结果是非常令人兴奋、鼓舞人心的,并且我们一直在研究,一直在研究,看不到终点。我经常会想我为何这么蠢,有这么多、各种各样的解决不了的问题。我最后发现,这完全是一团糟,有的时候我们的实验会被打断,有的时候我们并不了解自己在做些什么,有的时候我们会找到一个有用的理论然后发现五十年之前已经有人想过了,等等。完全是一团糟。

事实上,我写了一本书来谈这样的一个过程。这本书展示了我们为何经常犯如此多的错误。科研不会是坦途,爱因斯坦在研究相对论的过程中也犯了很多的错误,在他们的理论出现之后也同样犯了一些错误,他意识到了自己的错误,并找到了更合适的选择。

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“Théorème vivant”,Cedric Villani 著(2012)

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