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如果你感觉学数学太难,看看这些给星星定位的人

2019-08-16  wenxuefen...

仰望星空,一颗颗的亮晶晶闪耀在夜空中,有没有想过如何去定位它呢?稍微学习过数学的人都知道平面直角坐标系的定义,横轴X,纵轴Y,两条坐标轴就能精确定位出平面上的任意一点。坐标的意义不仅在于能够精确地描述点的问题,其中所蕴含的数形结合的思想让它在代数和几何之间建立起了一栋桥梁,图形完全可以用代数式子来表示。这个概念是谁提出来的呢?又是怎么提出来的?

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笛卡尔心形线

世上任何事物均在不停地运动和变化着,我们可用函数关系来表示这种种变化状态。其中最简单的一种变化方式就是线性关系,即随着自变量的增加其函数值也随之增加(减少),此乃一次函数(含正比例函数)。一次函数概念源于对不定方程的研究和直角坐标系的建立。由于古希腊数学家丢番图(Diophantus,约246-330)已对不定方程有相当研究,故一次函数萌芽在古希腊后期就萌发了。正是直角坐标系的创立方使得平面上的点与有序实数对、方程和曲线(包括二元一次方程与一次函数)之间建立了一一对应关系。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适合解决问题,而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性,在希腊数学中独树一帜。丢番图被后人称为'代数学之父'不无道理。

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1.中国古代的坐标系和一次函数

伏羲是神话传说的中华民族人文始祖,其创造了文字,结束了'结绳记事'的历史,据天地万物的变化创造了占卜八卦,开启了中华民族的文化之源。研究表明,伏羲创立了世界上最早的直角坐标系:两仪、四象与八卦。两仪是指一个数轴,阳爻为正,阴爻为负,阴阳交界处为原点,称之'无极';四象是由两个坐标轴分成的四个象限;八卦则指空间的八个卦限。

一次函数关系表示最早出现在班昭(约49-120)所编撰《汉书》之中。班昭是中国有史记载的第一位女数学家。其兄班固(32-92)著写《汉书》,但未完成拟定的八表和《天文志》就去世了。为完成班固遗愿,汉和帝敦请班昭续写《汉书》、编撰年表。在其中一个年表中,班昭将2000多个传说人物和历史人物按照9个品德级别进行了排列。她用矩形水平的一边作一轴,来表示时间跨度;用竖直一边作另一轴,表示人物的品德等级,故班昭可谓创立了第一个直角坐标系。按照班昭的人物排列方式,古人的品德等级近似形成一条直线(即一次函数)。其研究表明,越远古的人物其品德越是高尚。

班昭是我国古代四大才女之一,汉和帝曾多次宣召其入宫,并让皇后和贵人们拜其为师,尊称'大家(gū)'。每逢各地贡献珍贵稀奇物品时,汉和帝就邀请班昭作赋赞扬。班昭知识渊博,品德俱优。当时的大学者马融,为请求班昭的指导,曾跪在东观藏书阁外,聆听班昭讲解。班昭去世后,皇太后也为之素服举哀。

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生活在魏晋时期的裴秀,发明了绘制地图的网格方法(裴秀坐标),开创了中国古代地图绘制学。英国近代生物化学家和科学技术史专家李约瑟称他为'中国科学制图之父'。《晋书·卷五·列传第五》中曾记载:裴秀,字季彦,河东闻喜人也。少好学,有风操,八岁能属文。时为之语曰:后进领袖有裴秀。

他所作的《禹贡地域图》是中国目前有文献可考的最早历史地图集,并在序言中提出了绘制地图的6项原则,即著名的'制图六体',为中国传统地图(平面测量绘制的地图)奠定了理论基础。'制图六体'分别是:一曰分率(比例尺),用于测定地区的大小;二曰准望(方向),用于确定各地物的方位;三曰道里(距离),用于确定道路的理程;四曰高下(高取下,取下为水平直线距离);五曰方邪(方取斜,取斜为直线距离);六曰迂直(迂取直,取为直线距离)。

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2.奥雷姆和一次函数

西方关于坐标的概念可追溯到古希腊数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga,约公元前262-前190),然而第一个给出一次函数关系者应是法国数学家奥雷姆(N. Oresme,1320-1382)。此前人们一直认为真理(规律)只有在静止状态下才能总结出来,故而未能用函数图像表示出变量之间的关系。

奥雷姆早年求学于巴黎大学。1348年始在纳瓦拉学院学习神学,并取得神学硕士学位。后奥雷姆成为牧师(后为主教),同时也是一位大学教授。在西方中世纪的学者多半是神职人员,他们有着充分的研究时间,生活来源还有保障,又有机会接触各种典籍文献。而奥雷姆还有一个优越条件,其得到国王的大力支持。

奥雷姆对变量问题进行了研究。他认为,可测量皆为模拟量,如时间或长度无论如何分割和截取其性质均不会改变。奥雷姆详细分析了匀加速直线运动,他用一条水平直线(相当于横坐标轴)表示时间,直线上每一点代表一个时刻。每个时刻对应着一个速度,该速度可用一条垂直于此点的线段来代表,其长度正比于速度的大小。速度随着时间均匀地增大,故线段长度也均匀增长,其端点构成一条直线(即一次函数)。该直线、水平直线和表示初速度、末速度的线段围成一个梯形。若初速度为0,则形成三角形时间,其面积就是物体运动在时间内所通过的距离。奥雷姆所应用的方法已接近现代解析几何,这在当时是个了不起的创造。

3.笛卡儿坐标系

黑格尔称笛卡儿为'近代哲学之父',是一位勇于探索的科学家,对现代数学的发展做出了具有划时代意义的重要贡献,因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。笛卡尔堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一,被誉为'近代科学的始祖',与英国哲学家弗兰西斯·培根一同开启了近代西方哲学的'认识论'转向。

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有人认为,笛卡儿是个偶然的数学家,因其创立解析几何是受梦的启示。在我们的教科书上一般是把数字和图形区别开,但在数学发展史上两者不是对立的,甚至还会相互结合起来。为了改变了传统的几何方法,笛卡尔根据自己的这个想法,在《几何学》中,最早为运动着的点建立坐标,开创了几何和代数挂钩的解析几何。在解析几何中,动点的坐标就成了变数,这是数学第一次引进变数。

当笛卡尔创立解析几何时,使用的是哪种坐标系呢?当时,笛卡尔取定一条直线当基线(即现在所说的x轴),再取定一条与基线相交成定角方向的直线(即现在所说的y轴,但当时并没有明确出现y轴,100年后,一个瑞士人(克拉美)才正式引入y轴),他没有要求x轴与y轴互相垂直。所以当初笛卡尔使用的并不是现在我们所用的只限制在第一象限内。'横坐标'和'纵坐标'的名称笛卡尔也没有使用过,'纵坐标'是由莱布尼茨在1694年正式使用的,而'横坐标'到18世纪才由沃尔夫等人引入。至于'坐标'一词,也是莱布尼茨在1692年首次使用的。

可见当初笛卡尔的坐标系并不完善,经过后人不断地改善,才形成了今天的直角坐标系。然而,笛卡尔迈出的最初一步具有决定意义,所以人们仍把后来使用的直角坐标系称为直角坐标系。

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笛卡尔的发明不仅为牛顿、莱布尼兹发现微积分开辟了道路,还开拓了变量数学的领域。为什么这么说呢?笛卡尔对点的定位从另一方面讲是把曲线看成是点运动的轨迹,这一观点建立了点和实数的对应,将形和'数'统一起来,将变数引进到数学中,数学不再是由常量组成的,也囊括了时时改变的变量。恩格斯给出了高度评价:数学中的转折点就是笛卡尔的变数,有了变数,运动才进入了数学,辩证法才进入了数学,微分和积分也就有了成立的基础。

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