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初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点及题型汇总

2019-08-18  时宝官

初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点及题型汇总

一、矩形、菱形、正方形的性质

1.矩形的性质

①具有平行四边形的一切性质;

②矩形的四个角都是直角;

③矩形的对角线相等;

④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;

⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质

①具有平行四边形的一切性质;

②菱形的四条边都相等;

③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;

④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴;

⑤菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。

3.正方形的性质

正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质

①边:四边相等,对边平行;

②角:四个角都是直角;

③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度;

④正方形是轴对称图形,有四条对称轴。

例1 矩形ABCD中,DE⊥AC于E,且∠ADE:∠EDC=3:2,则∠BDE的度数为 ( )

A.360 B.90 C.270 D.180

例2 如图,矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,对角线AC与BD相交于点O,BE:ED=1:3,AB=6cm,求AC的长。

例3 如图, O是矩形ABCD 对角线的交点, AE平分 ∠BAD,∠AOD=120° ,求∠AEO 的度数。

例4 菱形的周长为40cm,两邻角的比为1:2,则较短对角线的长 。

例5 如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连接AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由.

二、矩形、菱形、正方形的判定

1.矩形的判定

①有一个内角是直角的平行四边形是矩形;

②对角线相等的平行四边形是矩形;

③有三个角是直角的四边形是矩形;

④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

2.菱形的判定方法

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

③四条边都相等四边形是菱形;

④对角线垂直平分的四边形是菱形。

3.正方形的判定

①菱形+矩形的一条特征;

②菱形+矩形的一条特征;

③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。

说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形。

例1 如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,过点A、D分别作BC与AB的平行线,并交于点E,连续EC、AD。

求证:四边形ADCE是矩形。

例2 如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,ED⊥BC,DF//AB.

求证:AD与EF互相垂直平分。

例3 已知如图,在△ABC,∠ACB=900,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF∥BC。

求证:四边形CDEF是菱形。

三、矩形、菱形、正方形与函数综合题

1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题;

2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题;

例1 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点D的坐标为(4,3).

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