每两个坐标轴
自学导引
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：__________________，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.
相关概念：________叫做坐标原点，_______________叫做坐标轴．通过____________的平面叫做坐标平面，分别称为____平面、____平面、____平面．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向____的正方向，食指指向____的正方向，如果中指指向____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
x轴
x轴、y轴、z轴
yOz
z轴
x轴、y轴、z轴
xOy
y轴
zOx
点O
y
2．空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用__________________来表示，_________________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________．其中____叫做点M的横坐标，____叫做点M的纵坐标，____叫做点M的竖坐标．
3．空间两点间的距离公式
(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝________.
(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝______________________________.
有序实数组(x，y，z)
x
有序实数组(x，y，z)
z
M(x，y，z)
自主探究
探究1：给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？
【答案】是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．
探究2：空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？
【答案】适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．
预习测评
1．点P(－1,0,4)位于()
A．y轴上B．x轴上C．xOz平面内D．yOz平面内
2．在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为()
A．(－1,2,3)B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2,3)D．(－1,2，－3)
【答案】B
【答案】C
3．点M(4，－3,5)到原点的距离d1＝________，到z轴的距离d2＝________.
4．已知A(4，－7,1)，B(6,2，z)，若|AB|＝10，则z＝________.
5
5
1±
要点阐释
1．点的坐标的确定
空间直角坐标系中，空间一点P的坐标的确定，需三步完成：
(1)过P作xOy平面的垂线，垂足为Q；
(2)在xOy平面内确定Q的纵、横坐标，即为点P的纵、横坐标；
(3)在平面OQP内过P作z轴的垂线，垂足为M，则M的竖坐标即是P点的竖坐标．
2.特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下：3.空间线段的中点坐标公式
设M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)是空间中两点，则MN的中点P的坐标为.
4．空间两点间的距离公式
空间中两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的距离公式
|P1P2|＝.
特别地，点P(x，y，z)与原点间的距离公式为
|OP|＝.
典例剖析
题型一确定空间任一点的坐标
【例1】如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
思路点拨：找出所求点在平面xOy上的射影点，然后再确定该点的竖坐标，从而确定该点的坐标．
解底面是边长为2的正方形，|CE|＝|CF|＝1.O点是坐标原点，C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1，0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．V在z轴上，V(0,0,3)．
1．如图所示，长方体OABC－D′A′B′C′中，|OA|＝1，|OC|＝2，|OD′|＝3，A′C′与B′D′交于点P，分别写出点C，C′，B，B′，A′，A，P的坐标．
解：∵点C在y轴上，且|OC|＝2，
它的纵坐标为2，它的横坐标x与竖坐标z是0，
点C的坐标为(0,2,0)．
点C′在yOz平面上，C′在z轴和y轴上的射影分别为D′和C，且|OD′|＝3，|OC|＝2，
点C′的坐标为(0,2,3)．
同理得B(1,2,0)．
点B′在xOy平面上的射影是B，它的横坐标、纵坐标与点B的横坐标、纵坐标均相同．
在xOy平面上，点B的横坐标x＝1，纵坐标y＝2，点B′在z轴上的射影是D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，而点D′的竖坐标z＝3，点B′的坐标是(1,2,3)．
同理得A′(1,0,3)，A(1,0,0)，P.
题型二空间中点的对称问题
【例2】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
思路点拨：利用类比的方法，先考虑在平面直角坐标系中点的对称问题，然后再考虑添加平面后的各种情况．
解：
(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12.所以P3(6，－3，－12)．
2．已知点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1；关于xOz平面的对称点为A2，A2；关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标．
解：∵点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，－2，－3)，点A1(4，－2，－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2，－3)，点A2(4,2，－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)．AA3中点M的坐标为(－4,0,0)．
题型三空间两点间距离公式的应用
【例3】已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，试判断ABC的形状．
思路点拨：直接代入公式计算，求出三边的长，再判断ABC的形状．
解：
|AB|＝＝＝7，
|BC|＝＝＝7，
|AC|＝＝＝7，
则|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以ABC为等腰直角三角形．
方法点评：已知空间三点坐标判断三角形的形状，一般先求出三角形的三边长，然后观察是否有相等的边，再判断是否符合勾股定理，来判断三角形的形状．
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：APB1P.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
设棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，P，由两点间的距离公式得
|AP|＝＝，
|B1P|＝＝，
|AB1|＝＝，
|AP|2＋|B1P|2＝|AB1|2，AP⊥B1P.
误区解密因对空间几何体缺乏空间感而写错点的坐标
【例4】如图所示，棱长为a的正方体OABC－D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．
错解：OB′与BD′相交于点Q，
点Q在xOy平面内的投影为OB与AC的交点，
点Q的坐标为，
同理可知点Q在xOz平面内的投影也为AD′与OA′的交点，
点Q的坐标为.
错因分析：空间感不强，造成错误．
正解：OB′与BD′相交于点Q，
点Q在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，
点Q的坐标为，
同理可知点Q在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点，点Q的坐标为.
纠错心得：求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．
课堂总结
空间直角坐标系和平面直角坐标系有很多相似的地方，平面直角坐标系中的一些结论可以类比地在空间直角坐标系中得到．
(1)求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标．
(2)点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面的两个坐标不变，另一个变为相反数；关于坐标轴对称，则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称，则三个全变为相反数．
(3)线段AB的中点坐标是，，(其中A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2))．
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