二维空间的封闭是圆，三维是球，那四维是什么？

题主问题中的表达似乎不太清楚，“封闭”是什么意思？

个人揣测题主是想问：一维的闭合空间可以被认为是一个圆，二维的闭合空间是一个球面，三维的闭合空间是四维超球体的球面，而四维的闭合空间又是什么呢？

闭合空间

闭合空间，指的是在此空间中任何一点出发，单向运动，最终都可以返回此点，于是可以据此判定该空间是闭合的。

1. 对于一维空间来说，如果是非闭合的，那么就是一条直线（但我们说它是直线是从更高维度来看的，对于一维空间内的生物来说它很难确定自己的空间是直线）。但如果这个一维空间是闭合的，那么从高维来看，它就是一个圆了（或者首尾相接的曲线）。这不难理解。
   

2. 同理，对于二维空间来说，如果是非闭合的，那么它就是一个无限的平面，反之，如果是闭合的，那么它就是一个球面，其上的任何一点出发单向运动最终都能回到出发点。这个仍然容易从高维度的视角来理解（我们脑子里面能够想象得到）。

3. 但是，对于三维空间来说，这个就不大好理解了。一个闭合的三维空间是什么样的呢？这就涉及到超球面的概念了。因为二维闭合空间是一个球面——实际上是三维球体的表面，那么三维闭合空间就是四维球体的表面了。貌似四维球体就够难想象的了，更不用说想象其表面的样子了。但实际上可能没那么难。
   
   
   

但有两种思路可以简化这个想象的复杂度：

• 理解1：四维球体实际上就是一系列三维球体的集合,而闭合的三维空间就是一系列三维球面的集合。
  

上图：将覆盖了网格线的三维球面投影到三维空间的样子，（想象一大堆尺寸连续渐变的球面嵌套叠加在一起）。实际上我们在这幅图看到的是一个四维超球体，只是那些网格线代表了其表面。其上的所有点（x1,x2,x3,x4）满足下面的方程：

并且从这些面上的任意一点单向运动，最终会返回原点。

• 理解二：三维闭合空间，相当于是一维闭合空间+二维闭合空间。也就是一个圆（环）上布满了尺寸渐变的球面，或者，一个球面上布满了尺寸渐变的圆。似乎前者更容易想象。这里需要先介绍一个思维技巧，就是把一个球看成一个环。如下面动图所示。

上图：将球等效于一个环的方法（球和环可以相互变换），只是简单地将原有的坐标系的比例改变一下，球就变成了环（或者说球面就变成了环面，球面只不过是环面的一个特例），环可以进一步等效于一个没有粗细的圆。这样的思考方式可以用来降维思考或者升维思考。

我们再来换一种以环面来表现的更容易看清楚的三维闭合空间的投影图（下图），不好意思，前面给的那种太缭乱。

上图：闭合三维空间的静态投影，从静态投影上我们仍然难以理解。因为叠加的部分太多了，线条也太多。我们的大脑无法处理。于是我们可以将其中一个维度在时间维度上展开（也就是把时间作为其第4个维度），让这个图动起来，来看三维闭合空间在二维上的投影的变化。

上图：闭合三维空间，让它动起来，这是闭合三维空间不同部分在二维平面上的连续显现的投影。也就是说，每一刻只显示了这个闭合三维空间中的一个二维闭合空间，而且还是转换为“环面”之后的样子。

思维引导：

• 如果我们按下暂停键，在这个动图当中的每一帧当中，我们都会注意到，其每一帧描绘的都是由闭合的圈沿闭合的环旋转一周形成的一个闭合曲面（像是甜甜圈），这个“甜甜圈曲面”实际上代表了一个二维闭合空间，既然前面我们已经告诉了你将球面等效于环面的方法，于是你现在应该可以认为这个“甜甜圈曲面”实际上就是一个球面（二维闭合空间）。如果放一只蚂蚁在这个环面上任何一点，它无论如何也走不出这个环面。
  
  

• 如果我们取消暂停，让蚂蚁不动，就会看到随着这个环面的动态，蚂蚁将仍然随着做圆周运动，而且会在一个周期之内回到原点。
  
  

• 所以，将所有的帧都叠加起来（而不是让它们以序列的方式呈现），这些尺寸渐变的“甜甜圈曲面”的总体就共同构成了我们期望理解的那个三维闭合空间（各种尺寸的“甜甜圈曲面”的总和，不要在大脑中企图视觉化这个几何图形，很难）。因为这些“甜甜圈曲面”是连续渐变的，因此他们构成的是一个连续的三维空间，只是这个三维空间与那种非闭合的三维空间不同——那只蚂蚁在这些曲面上的任一点单向运动，最终是可以返回原点的。

实际上，这里讲的思路，就是在超弦理论当中维度蜷缩的思维方式。将多余的维度分解为其他几个闭合维度的集合，如此下去你可以轻易地想象任何维度的空间的样子。

总结

我们这里主要谈了三维闭合空间的理解，四维闭合空间虽然复杂，但原理是一样的，这样可以一直到n维。突破直觉的高维几何需要思维训练才能掌握，因为我们日常的现实并不提供类似的经验。希望上述解释对大家有所助益。欢迎评论探讨。